Ensembles finis Exemples

$\log (\sqrt[7]{x}) - \log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$

Étape 1

Définissez l’argument dans

$\log (\sqrt[7]{x})$ inférieur ou égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[7]{x} \leq 0$

Étape 2

Résolvez

$x$ .

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Étape 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, raise both sides of the inequality to the power of

$7$ .

${\sqrt[7]{x}}^{7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt[7]{x}$ comme

$x^{\frac{1}{7}}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de

$7$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$x \leq 0^{7}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$x \leq 0$

Étape 3

Définissez l’argument dans

$\log_{7} ({(x)}^{5})$ inférieur ou égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x)}^{5} \leq 0$

Étape 4

Résolvez

$x$ .

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Étape 4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} \leq \sqrt[5]{0}$

Étape 4.2

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \leq \sqrt[5]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez

$\sqrt[5]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez

$0$ comme

$0^{5}$ .

$x \leq \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 4.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \leq 0$

Étape 5

Définissez l’argument dans

$\log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$ inférieur ou égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\log_{7} ({(x)}^{5}) \leq 0$

Étape 6

Résolvez

$x$ .

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$\log_{7} (x^{5}) \leq 0$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 1$

Étape 6.3

Déterminez le domaine de

$\log_{7} ({(x)}^{5})$ .

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Étape 6.3.1

Définissez l’argument dans

$\log_{7} ({(x)}^{5})$ supérieur à

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

${(x)}^{5} > 0$

Étape 6.3.2

Résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} > \sqrt[5]{0}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x > \sqrt[5]{0}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1

Simplifiez

$\sqrt[5]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1.1

Réécrivez

$0$ comme

$0^{5}$ .

$x > \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 6.3.2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x > 0$

Étape 6.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

$x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 6.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 6.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle

$x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.5.1.2

Remplacez

$x$ par

$- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{7} ({(- 2)}^{5}) \leq 0$

Étape 6.5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 6.5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 6.5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle

$0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 6.5.2.2

Remplacez

$x$ par

$0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{7} ({(0.5)}^{5}) \leq 0$

Étape 6.5.2.3

Le côté gauche

$- 1.78103593$ est inférieur au côté droit

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.5.3

Testez une valeur sur l’intervalle

$x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.5.3.2

Remplacez

$x$ par

$4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{7} ({(4)}^{5}) \leq 0$

Étape 6.5.3.3

Le côté gauche

$3.56207187$ est supérieur au côté droit

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 6.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq 1$

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à

$0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à

$0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à

$0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Étape 8