Ensembles finis Exemples

$\log (\sqrt[7]{x}) - \log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log (\sqrt[7]{x})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[7]{x} \leq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, raise both sides of the inequality to the power of $7$ .

${\sqrt[7]{x}}^{7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x}$ comme $x^{\frac{1}{7}}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \leq 0^{7}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$x \leq 0^{7}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x \leq 0$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\log_{7} ({(x)}^{5})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x)}^{5} \leq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} \leq \sqrt[5]{0}$

Étape 4.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \leq \sqrt[5]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x \leq \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 4.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \leq 0$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\log_{7} ({(x)}^{5}) \leq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$\log_{7} (x^{5}) \leq 0$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 1$

Étape 6.3

Déterminez le domaine de $\log_{7} ({(x)}^{5})$ .

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Étape 6.3.1

Définissez l’argument dans $\log_{7} ({(x)}^{5})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

${(x)}^{5} > 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} > \sqrt[5]{0}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x > \sqrt[5]{0}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x > \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 6.3.2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x > 0$

Étape 6.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 6.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 6.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{7} ({(- 2)}^{5}) \leq 0$

Étape 6.5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 6.5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 6.5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 6.5.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{7} ({(0.5)}^{5}) \leq 0$

Étape 6.5.2.3

Le côté gauche $- 1.78103593$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.5.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{7} ({(4)}^{5}) \leq 0$

Étape 6.5.3.3

Le côté gauche $3.56207187$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 6.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq 1$

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Étape 8