Ensembles finis Exemples

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y = - 11$

Étape 1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 11 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = y^{2} + 4 y + 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4 y + 11))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4 y + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} + 4 y + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (4 y) - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 16 y - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 16 y - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $44$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 16 y - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2} - 16 y - 8$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 16 y - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 y$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 4 (- 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (- 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (- 2)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} - 4 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 4 y - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 4 y - 2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 4 y - 2}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{- y^{2} - 4 y - 2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + \sqrt{- y^{2} - 4 y - 2}$

$x = 3 - \sqrt{- y^{2} - 4 y - 2}$