Ensembles finis Exemples

$x^{2} - \frac{2}{5} x = \frac{4}{25}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Associez $x$ et $\frac{2}{5}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{5} = \frac{4}{25}$

Étape 1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} = \frac{4}{25}$

Étape 2

Soustrayez $\frac{4}{25}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} - \frac{4}{25} = 0$

Étape 3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $25$ , puis simplifiez.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 x^{2} + 25 (- \frac{2 x}{5}) + 25 (- \frac{4}{25}) = 0$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{5}$ dans le numérateur.

$25 x^{2} + 25 (\frac{- 2 x}{5}) + 25 (- \frac{4}{25}) = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$25 x^{2} + 5 (5) (\frac{- 2 x}{5}) + 25 (- \frac{4}{25}) = 0$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$25 x^{2} + 5 \cdot (5 (\frac{- 2 x}{5})) + 25 (- \frac{4}{25}) = 0$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$25 x^{2} + 5 (- 2 x) + 25 (- \frac{4}{25}) = 0$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$25 x^{2} - 10 x + 25 (- \frac{4}{25}) = 0$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{25}$ dans le numérateur.

$25 x^{2} - 10 x + 25 (\frac{- 4}{25}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$25 x^{2} - 10 x + 25 (\frac{- 4}{25}) = 0$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$25 x^{2} - 10 x - 4 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 25$ , $b = - 10$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot - 4)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 25 \cdot - 4}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 25 \cdot - 4$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 100 \cdot - 4}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 100$ par $- 4$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 400}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.3

Additionnez $100$ et $400$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{500}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $500$ comme $10^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $500$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 (5)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 10 \sqrt{5}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$x = \frac{10 \pm 10 \sqrt{5}}{50}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 10 \sqrt{5}}{50}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{5}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{5}, \frac{1 - \sqrt{5}}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{5}, \frac{1 - \sqrt{5}}{5}$

Forme décimale :

$x = 0.64721359 \dots, - 0.24721359 \dots$