Ensembles finis Exemples

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $\frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ comme $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ en déplaçant $\frac{2}{3}$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.7

Simplifiez $2 \log_{b} (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)$

Étape 2.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \cdot 4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $3 \cdot 4$ par $1$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

Étape 2.1.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x = 12$