Ensembles finis Exemples

$\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{x - 4}$ .

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Étape 1.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, \sqrt{x - 4}, 1$

Étape 1.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\sqrt{x - 4}$

Étape 1.2

Multiplier chaque terme dans $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ par $\sqrt{x - 4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.1

Multipliez chaque terme dans $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ par $\sqrt{x - 4}$ .

$\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $\sqrt{x - 4}$ par $\sqrt{x - 4}$ .

${\sqrt{x - 4}}^{2} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Étape 1.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{x - 4}$ .

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Étape 1.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{\sqrt{x - 4}}$ dans le numérateur.

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Étape 1.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Étape 1.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = 1 \sqrt{x - 4}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\sqrt{x - 4}$ par $1$ .

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = \sqrt{x - 4}$

Étape 1.3

Résolvez l’équation.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $\sqrt{x - 4}$ des deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4} = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez ${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4}$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$

Étape 1.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

Étape 1.3.4

Définissez $\sqrt{x - 4} - 2$ égal à $0$ et résolvez $\sqrt{x - 4}$ .

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Étape 1.3.4.1

Définissez $\sqrt{x - 4} - 2$ égal à $0$ .

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

Étape 1.3.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x - 4} = 2$

Étape 1.3.5

Définissez $\sqrt{x - 4} + 1$ égal à $0$ et résolvez $\sqrt{x - 4}$ .

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Étape 1.3.5.1

Définissez $\sqrt{x - 4} + 1$ égal à $0$ .

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x - 4} = - 1$

Étape 1.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$ vraie.

$\sqrt{x - 4} = 2, - 1$

Étape 2

Résolvez $x$ dans $\sqrt{x - 4} = 2$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x - 4}}^{2} = 2^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 4)}^{1} = 2^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$x - 4 = 2^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x - 4 = 4$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4 + 4$

Étape 2.3.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = 8$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $\sqrt{x - 4} = - 1$ .

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Étape 3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x - 4}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 4)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez

$x - 4 = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x - 4 = 1$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 + 4$

Étape 3.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = 5$

Étape 4

Indiquez toutes les solutions.

$x = 8, 5$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ vrai.

$x = 8$