Ensembles finis Exemples

$e^{2 x + 10} = 5^{\frac{3 x}{11}}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 x + 10}) = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln (e^{2 x + 10})$ en déplaçant $2 x + 10$ hors du logarithme.

$(2 x + 10) \ln (e) = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Étape 2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(2 x + 10) \cdot 1 = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Étape 2.3

Multipliez $2 x + 10$ par $1$ .

$2 x + 10 = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Développez $\ln (5^{\frac{3 x}{11}})$ en déplaçant $\frac{3 x}{11}$ hors du logarithme.

$2 x + 10 = \frac{3 x}{11} \ln (5)$

Étape 3.2

Associez $\frac{3 x}{11}$ et $\ln (5)$ .

$2 x + 10 = \frac{3 x \ln (5)}{11}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés par $11$ .

$(2 x + 10) \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $(2 x + 10) \cdot 11$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot 11 + 10 \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Étape 5.1.1.2

Multipliez.

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Étape 5.1.1.2.1

Multipliez $11$ par $2$ .

$22 x + 10 \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Étape 5.1.1.2.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$22 x + 110 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $3 \ln (5)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$22 x + 110 = \frac{x \ln (5^{3})}{11} \cdot 11$

Étape 5.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$22 x + 110 = \frac{x \ln (125)}{11} \cdot 11$

Étape 5.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$22 x + 110 = \frac{x \ln (125)}{11} \cdot 11$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$22 x + 110 = x \ln (125)$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $x \ln (125)$ des deux côtés de l’équation.

$22 x + 110 - x \ln (125) = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $110$ des deux côtés de l’équation.

$22 x - x \ln (125) = - 110$

Étape 6.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1

Factorisez $x$ à partir de $22 x - x \ln (125)$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $22 x$ .

$x \cdot 22 - x \ln (125) = - 110$

Étape 6.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (125)$ .

$x \cdot 22 + x (- 1 \ln (125)) = - 110$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 22 + x (- 1 \ln (125))$ .

$x (22 - 1 \ln (125)) = - 110$

Étape 6.3.2

Réécrivez $- 1 \ln (125)$ comme $- \ln (125)$ .

$x (22 - \ln (125)) = - 110$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $x (22 - \ln (125)) = - 110$ par $22 - \ln (125)$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $x (22 - \ln (125)) = - 110$ par $22 - \ln (125)$ .

$\frac{x (22 - \ln (125))}{22 - \ln (125)} = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $22 - \ln (125)$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (22 - \ln (125))}{22 - \ln (125)} = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{110}{22 - \ln (125)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{110}{22 - \ln (125)}$

Forme décimale :

$x = - 6.40589388 \dots$