Ensembles finis Exemples

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = 5$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = 5$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$7 u^{2} - 14 u + 2 - 5 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$7 u^{2} - 14 u - 3 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 7$ , $b = - 14$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot - 3)}}{2 \cdot 7}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 7 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot - 3$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 28 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $- 3$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 84}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.3

Additionnez $196$ et $84$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{280}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $280$ comme $2^{2} \cdot 70$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $280$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{4 (70)}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 70}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{70}}{7}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Étape 7

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ .

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Étape 9.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$ .

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Étape 10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$ .

$x = - 0.19649053$

Étape 10.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Étape 10.4

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.19649053$

Étape 10.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Étape 10.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.19649053$ .

$x = 3.33808319$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.19649053$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.19649053 + 2 π$

Étape 10.6.2

Soustrayez $0.19649053$ de $2 π$ .

$6.08669476$

Étape 10.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 6.08669476$

Étape 10.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , pour tout entier $n$