Ensembles finis Exemples

$| x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} | = 7$

Étape 1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = \pm 7$

Étape 2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Étape 2.2

Simplifiez $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Étape 2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Étape 2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Étape 2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Étape 2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 7 \cdot 2$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 14$

Étape 2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14 = 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14$ .

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.5.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Étape 2.5.2.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Étape 2.5.2.3

Soustrayez $14$ de $- 1$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 2.5.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 2.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2.5.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5.6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.5.6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5$

Étape 2.6

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Étape 2.7

Simplifiez $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Étape 2.7.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Étape 2.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Étape 2.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Étape 2.8

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Étape 2.9.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 7 \cdot 2$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.2.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 14$

Étape 2.10

Résolvez $x$ .

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Étape 2.10.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.10.1.1

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2

Simplifiez $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14$ .

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Étape 2.10.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.1.2.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.10.1.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Étape 2.10.1.2.3

Additionnez $- 1$ et $14$ .

$x^{2} + 2 x + 13 = 0$

Étape 2.10.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.10.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4

Simplifiez

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Étape 2.10.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 2.10.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.3

Soustrayez $52$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.10.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.10.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.10.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.10.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 5, - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$