Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81) = \log_{5} (3 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\log_{5} (3 x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81)$ .

$\log_{5} (3 x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log_{5} (81)$ .

$\log_{5} (3 x) = \frac{\log_{5} (81)}{2}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{5} (3 x) - \frac{\log_{5} (81)}{2} = 0$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez $\log_{5} (81)$ comme $\log_{5} (3^{4})$ .

$\log_{5} (3 x) - \frac{\log_{5} (3^{4})}{2} = 0$

Étape 4.2

Développez $\log_{5} (3^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\log_{5} (3 x) - \frac{4 \log_{5} (3)}{2} = 0$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \log_{5} (3)$ .

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2} = 0$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2 (1)} = 0$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2 \cdot 1} = 0$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 \log_{5} (3)}{1} = 0$

Étape 4.3.2.4

Divisez $2 \log_{5} (3)$ par $1$ .

$\log_{5} (3 x) - (2 \log_{5} (3)) = 0$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\log_{5} (3 x) - 2 \log_{5} (3) = 0$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez $\log_{5} (3 x) - 2 \log_{5} (3)$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez $- 2 \log_{5} (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{5} (3 x) - \log_{5} (3^{2}) = 0$

Étape 5.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\log_{5} (3 x) - \log_{5} (9) = 0$

Étape 5.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{3 x}{9}) = 0$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\log_{5} (\frac{3 (x)}{9}) = 0$

Étape 5.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\log_{5} (\frac{3 x}{3 \cdot 3}) = 0$

Étape 5.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (\frac{3 x}{3 \cdot 3}) = 0$

Étape 5.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (\frac{x}{3}) = 0$

Étape 6

Réécrivez $\log_{5} (\frac{x}{3}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{x}{3}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{3} = 5^{0}$ .

$\frac{x}{3} = 5^{0}$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \cdot 5^{0}$

Étape 7.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \cdot 5^{0}$

Étape 7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \cdot 5^{0}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez $3 \cdot 5^{0}$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = 3 \cdot 1$

Étape 7.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x = 3$