Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 1, x + 1, 1, (x + 1) (x - 1)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $x - 1, x + 1, x + 1, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 1) (x + 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ par $(x - 1) (x + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ par $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + 1 - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x + 1}$ dans le numérateur.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x - 1) (x + 1)$ .

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x + 1 - (x - 1) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 - x - - 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 1 - x + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 1 - x + 1$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 + 1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $(x - 1) (x + 1)$ par $1$ .

$2 = (x - 1) (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.2

Développez $(x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 = x (x + 1) - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.3

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$2 = x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$2 = x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$2 = x \cdot x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 = x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $(x - 1) (x + 1)$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $(x - 1) (x + 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 = x^{2} - 1 + 2$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$2 = x^{2} + 1$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 1 = 2$ .

$x^{2} + 1 = 2$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2 - 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$x^{2} = 1$

Étape 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$ vrai.

$Aucune solution$