Ensembles finis Exemples

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(1 + i)}^{2}$ comme $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{(1 + i) (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Développez $(1 + i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.1.4

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.2.3.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1} i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i - 1}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{0 + i + i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{i + i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Réécrivez ${(1 - i)}^{2}$ comme $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{(1 - i) (1 - i)}$

Étape 1.2.5

Développez $(1 - i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 (1 - i) - i (1 - i)}$

Étape 1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i)}$

Étape 1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i - i (- i)}$

Étape 1.2.6.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i i}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i)}$

Étape 1.2.6.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.2.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{1 + 1}}$

Étape 1.2.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{2}}$

Étape 1.2.6.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + i^{2}}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i - 1}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{0 - i - i}$

Étape 1.2.6.3

Soustrayez $i$ de $0$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{- i - i}$

Étape 1.2.6.4

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{- 2 i}$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 (i)}{- 2 i}$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 (i)}{2 (- i)}$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{2 (- i)}$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{i}{- i}$

Étape 1.2.8

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 1.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{i}{- i}$

Étape 1.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.8.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.2.9

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - - 1$

Étape 1.2.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i + 1$

Étape 1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 3 + 2 i$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + i y, 1, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x + i y, 1, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + i y$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x + i y} = 3 + 2 i$ par $x + i y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x + i y} = 3 + 2 i$ par $x + i y$ .

$\frac{2}{x + i y} (x + i y) = 3 (x + i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + i y$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} (x + i y) = 3 (x + i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 3 (x + i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 = 3 x + 3 (i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 i (i y)$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $2 i (i y)$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 (i^{1} i) y$

Étape 3.3.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 (i^{1} i^{1}) y$

Étape 3.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 i^{1 + 1} y$

Étape 3.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 i^{2} y$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 \cdot - 1 y$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x - 2 y$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 x + 3 i y + 2 i x - 2 y = 2$ .

$3 x + 3 i y + 2 i x - 2 y = 2$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3 i y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + 2 i x - 2 y = 2 - 3 i y$

Étape 4.2.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x + 2 i x = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 4.3

Factorisez $x$ à partir de $3 x + 2 i x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$x \cdot 3 + 2 i x = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 i x$ .

$x \cdot 3 + x (2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3 + x (2 i)$ .

$x (3 + 2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $x (3 + 2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$ par $3 + 2 i$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $x (3 + 2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$ par $3 + 2 i$ .

$\frac{x (3 + 2 i)}{3 + 2 i} = \frac{2}{3 + 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 + 2 i$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 + 2 i)}{3 + 2 i} = \frac{2}{3 + 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3 + 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2}{3 + 2 i}$ par le conjugué de $3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{2}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2

Multipliez.

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Étape 4.4.3.1.2.1

Associez.

$x = \frac{2 (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 + 2 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.3.1.2.3.1

Développez $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.3.1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 4.4.3.1.2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 4 i^{2}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 4 \cdot - 1} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 + 4} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.2.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.3

Divisez la fraction $\frac{6 - 4 i}{13}$ en deux fractions.

$x = \frac{6}{13} + \frac{- 4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 3 i y}{3 + 2 i}$ par le conjugué de $3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.6.1

Associez.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y \cdot 3 - 3 i y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 3 i y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.3

Multipliez $- 3 i y (- 2 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.6.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 i y i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y (i^{1} i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y (i^{1} i^{1})}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y i^{1 + 1}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y i^{2}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.6.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y \cdot - 1}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.3.1.6.3.1

Développez $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.3.1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2

Simplifiez

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Étape 4.4.3.1.6.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 4 i^{2}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 4 \cdot - 1} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 + 4} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.6.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.7

Factorisez $3 y$ à partir de $- 9 i y - 6 y$ .

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Étape 4.4.3.1.7.1

Factorisez $3 y$ à partir de $- 9 i y$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i) - 6 y}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.7.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 6 y$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i) + 3 y (- 2)}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.7.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (- 3 i) + 3 y (- 2)$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 4.4.3.1.8

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 y}{3 + 2 i}$ par le conjugué de $3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i}$

Étape 4.4.3.1.9

Multipliez.

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Étape 4.4.3.1.9.1

Associez.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.3.1.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y \cdot 3 + 2 y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y + 2 y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.3.1.9.3.1

Développez $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.3.1.9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.9.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 4.4.3.1.9.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 4 i^{2}}$

Étape 4.4.3.1.9.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.9.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.3.1.9.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 + 4}$

Étape 4.4.3.1.9.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{13}$

Étape 4.4.3.1.10

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y - 4 y i$ .

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Étape 4.4.3.1.10.1

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3) - 4 y i}{13}$

Étape 4.4.3.1.10.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 4 y i$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3) + 2 y (- 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.1.10.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (3) + 2 y (- 2 i)$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{6 - 4 i + 3 y (- 3 i - 2) + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i + 3 y (- 3 i) + 3 y \cdot - 2 + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.3.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i + 3 y \cdot - 2 + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.3.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 2 y \cdot 3 + 2 y (- 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.3.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 6 y + 2 y (- 2 i)}{13}$

Étape 4.4.3.3.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 6 y - 4 y i}{13}$

Étape 4.4.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.3.4.1

Associez les termes opposés dans $6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 6 y - 4 y i$ .

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Étape 4.4.3.4.1.1

Additionnez $- 6 y$ et $6 y$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i + 0 - 4 y i}{13}$

Étape 4.4.3.4.1.2

Additionnez $6 - 4 i - 9 y i$ et $0$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 4 y i}{13}$

Étape 4.4.3.4.2

Soustrayez $4 y i$ de $- 9 y i$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 13 y i}{13}$

Étape 4.4.3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 13 i y + 6 - 4 i}{13}$

Étape 4.4.3.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 13 i y$ .

$x = \frac{- (13 i y) + 6 - 4 i}{13}$

Étape 4.4.3.4.5

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$x = \frac{- (13 i y) - 1 (- 6) - 4 i}{13}$

Étape 4.4.3.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (13 i y) - 1 (- 6)$ .

$x = \frac{- (13 i y - 6) - 4 i}{13}$

Étape 4.4.3.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 i$ .

$x = \frac{- (13 i y - 6) - (4 i)}{13}$

Étape 4.4.3.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (13 i y - 6) - (4 i)$ .

$x = \frac{- (13 i y - 6 + 4 i)}{13}$

Étape 4.4.3.4.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.4.9.1

Réécrivez $- (13 i y - 6 + 4 i)$ comme $- 1 (13 i y - 6 + 4 i)$ .

$x = \frac{- 1 (13 i y - 6 + 4 i)}{13}$

Étape 4.4.3.4.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{13 i y - 6 + 4 i}{13}$