Ensembles finis Exemples

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réduisez l’expression $\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r^{6}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $r^{6}$ et $r^{3}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $r^{3}$ à partir de $r^{6}$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{r^{3}}{1} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1.2.2.4

Divisez $r^{3}$ par $1$ .

$r^{3} = \frac{729}{- 27}$

Étape 1.3

Divisez $729$ par $- 27$ .

$r^{3} = - 27$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{3} + 27 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$r^{3} + 3^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = r$ et $b = 3$ .

$(r + 3) (r^{2} - r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 3^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r + 3 = 0$

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Étape 2.4

Définissez $r + 3$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $r + 3$ égal à $0$ .

$r + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 3$

Étape 2.5

Définissez $r^{2} - 3 r + 9$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $r^{2} - 3 r + 9$ égal à $0$ .

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $r^{2} - 3 r + 9 = 0$ pour $r$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$ vraie.

$r = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3

La variable $a$ a été annulée.

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$