Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{4} \cdot {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Étape 1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et ${| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} = | x^{3} + 1 | - 1$

Étape 2

Soustrayez $| x^{3} + 1 |$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ par $4$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 1 \cdot 4$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 4$

Étape 4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 4 = 0$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 2^{2} = 0$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 | x^{3} + 1 | = 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = | x^{3} + 1 |$ et $b = 2$ .

${(| x^{3} + 1 | - 2)}^{2} = 0$

Étape 6

Définissez le $| x^{3} + 1 | - 2$ égal à $0$ .

$| x^{3} + 1 | - 2 = 0$

Étape 7

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$| x^{3} + 1 | = 2$

Étape 8

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x^{3} + 1 = \pm 2$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x^{3} + 1 = 2$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 2 - 1$

Étape 9.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$x^{3} = 1$

Étape 9.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 9.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 9.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 9.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Étape 9.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 9.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 9.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9.7

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 9.7.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 9.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.9

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x^{3} + 1 = - 2$

Étape 9.10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.10.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 2 - 1$

Étape 9.10.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$x^{3} = - 3$

Étape 9.11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Étape 9.12

Simplifiez $\sqrt[3]{- 3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.12.1

Réécrivez $- 3$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.12.1.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Étape 9.12.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Étape 9.12.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Étape 9.12.3

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{3}$ comme $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Étape 9.13

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{3}$

Étape 10