Ensembles finis Exemples

$\frac{2 x + b}{3 a - b} = \frac{x - a}{b - 3 a}$

Étape 1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $(2 x + b) (b - 3 a)$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.3

Développez $(2 x + b) (b - 3 a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (b - 3 a) + b (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x b + 2 x (- 3 a) + b (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x b + 2 x (- 3 a) + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x b + 2 \cdot - 3 x a + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 x b - 6 x a + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $b$ par $b$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = (3 a - b) (x - a)$

Étape 2.2

Simplifiez $(3 a - b) (x - a)$ .

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Étape 2.2.1

Développez $(3 a - b) (x - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a (x - a) - b (x - a)$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 a (- a) - b (x - a)$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 a (- a) - b x - b (- a)$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 a \cdot a - b x - b (- a)$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.2.1

Déplacez $a$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 (a \cdot a) - b x - b (- a)$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 a^{2} - b x - b (- a)$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x - b (- a)$

Étape 2.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x - 1 \cdot - 1 b a$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x + 1 b a$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $b$ par $1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x + b a$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $3 a x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x = - 3 a^{2} - b x + b a$

Étape 2.3.2

Ajoutez $b x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + b x = - 3 a^{2} + b a$

Étape 2.3.3

Additionnez $2 x b$ et $b x$ .

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Étape 2.3.3.1

Déplacez $x$ .

$- 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + 2 b x + b x = - 3 a^{2} + b a$

Étape 2.3.3.2

Additionnez $2 b x$ et $b x$ .

$- 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Étape 2.3.4

Soustrayez $3 a x$ de $- 6 x a$ .

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Étape 2.3.4.1

Déplacez $x$ .

$b^{2} - 3 b a - 6 a x - 3 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $3 a x$ de $- 6 a x$ .

$b^{2} - 3 b a - 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Étape 2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $b^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 b a - 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a - b^{2}$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3 b a$ aux deux côtés de l’équation.

$- 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a - b^{2} + 3 b a$

Étape 2.4.3

Additionnez $b a$ et $3 b a$ .

$- 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Étape 2.5

Factorisez $3 x$ à partir de $- 9 a x + 3 b x$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 9 a x$ .

$3 x (- 3 a) + 3 b x = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Étape 2.5.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 b x$ .

$3 x (- 3 a) + 3 x (b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Étape 2.5.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 3 a) + 3 x (b)$ .

$3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$ par $3 (- 3 a + b)$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$ par $3 (- 3 a + b)$ .

$\frac{3 x (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (- 3 a + b)}{- 3 a + b} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun de $- 3 a + b$ .

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 3 a + b)}{- 3 a + b} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 2.6.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 a^{2}$ .

$x = \frac{3 (- a^{2})}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 (- a^{2})}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- a^{2}}{- 3 a + b} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.2

Pour écrire $- \frac{a^{2}}{- 3 a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} \cdot \frac{3}{3} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- 3 a + b) \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.6.3.3.1

Multipliez $\frac{a^{2}}{- 3 a + b}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{a^{2} \cdot 3}{(- 3 a + b) \cdot 3} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 3 a + b) \cdot 3$ .

$x = - \frac{a^{2} \cdot 3}{3 (- 3 a + b)} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- a^{2} \cdot 3 - b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- a^{2} \cdot 3 - b^{2} + 4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.6.3.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.6.3.7.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 3 a^{2} - b^{2} + 4 a b}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.1.2

Remettez dans l’ordre $- b^{2}$ et $4 a b$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} + 4 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 a b$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} + 4 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.1.4

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$x = \frac{- 3 a^{2} + (1 + 3) (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 3 a^{2} + 1 (a b) + 3 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.1.6

Multipliez $a b$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} + a b + 3 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.1.7

Déplacez les parenthèses.

$x = \frac{- 3 a^{2} + a b + 3 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.6.3.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x = \frac{(- 3 a^{2} + a b) + 3 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x = \frac{a (- 3 a + b) - b (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 a + b$ .

$x = \frac{(- 3 a + b) (a - b)}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.8

Annulez le facteur commun de $- 3 a + b$ .

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Étape 2.6.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(- 3 a + b) (a - b)}{3 (- 3 a + b)}$

Étape 2.6.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{a - b}{3}$