Ensembles finis Exemples

$3^{x + 1} = 5^{x - 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (3^{x + 1}) = \ln (5^{x - 1})$

Étape 2

Développez $\ln (3^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (5^{x - 1})$

Étape 3

Développez $\ln (5^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(x + 1) \ln (3)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (3) + 1 \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Étape 4.1.4

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Étape 4.2

Simplifiez $(x - 1) \ln (5)$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) - 1 \ln (5)$

Étape 4.2.2

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) - \ln (5)$

Étape 4.3

Soustrayez $x \ln (5)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) + \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (5)$

Étape 4.4

Soustrayez $\ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (5) - \ln (3)$

Étape 4.5

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (5) - \ln (3)$

Étape 4.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Étape 4.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Étape 4.6

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Étape 4.7

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$ par $\ln (3) - \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 4.7.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$ par $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Étape 4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (5) - \ln (3)$ .

$x = \frac{- (\ln (5) + \ln (3))}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (5) + \ln (3))$ comme $- 1 (\ln (5) + \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (5) + \ln (3))}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.7.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (5) + \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (5) + \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 5.30132020 \dots$