Ensembles finis Exemples

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $5^{x + 1}$ comme $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $5^{2 x}$ comme ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Étape 1.3

Laissez $u = 5^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $5^{x}$ par $u$ .

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Étape 1.3.1

Évaluez l’exposant.

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

Étape 1.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $u$ .

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $u^{2} + 5 u - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $5$ .

$- 3, 8$

Étape 1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u + 8) = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

Étape 3

Définissez $5^{x} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $5^{x} - 3$ égal à $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $5^{x} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$5^{x} = 3$

Étape 3.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Étape 3.2.3

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (3)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (3)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Étape 4

Définissez $5^{x} + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $5^{x} + 8$ égal à $0$ .

$5^{x} + 8 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $5^{x} + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$5^{x} = - 8$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 8)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $5^{x} = - 8$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ vraie.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 0.68260619 \dots$