Ensembles finis Exemples

$x^{4} - 34 x^{2} = - 225$

Étape 1

Ajoutez $225$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 34 x^{2} + 225 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 34 x^{2} + 225 = 0$

Étape 2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 34 u + 225 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $u^{2} - 34 u + 225$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $225$ et dont la somme est $- 34$ .

$- 25, - 9$

Étape 2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 25) (u - 9) = 0$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 25) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 2.8

Factorisez.

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Étape 2.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 5, 5, - 3, 3$