Ensembles finis Exemples

$x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20 = 0$

Étape 1

Factorisez $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Étape 1.3

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $5$ dans le polynôme.

$5^{3} - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Étape 1.3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Étape 1.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 - 7 \cdot 25 + 6 \cdot 5 + 20$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 7$ par $25$ .

$125 - 175 + 6 \cdot 5 + 20$

Étape 1.3.5

Soustrayez $175$ de $125$ .

$- 50 + 6 \cdot 5 + 20$

Étape 1.3.6

Multipliez $6$ par $5$ .

$- 50 + 30 + 20$

Étape 1.3.7

Additionnez $- 50$ et $30$ .

$- 20 + 20$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20}{x - 5}$

Étape 1.5

Divisez $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ par $x - 5$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$20$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 10 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							-	$4 x$	+	$20$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x + 20$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x - 4$

Étape 1.6

Écrivez $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4

Définissez $x^{2} - 2 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} - 2 x - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = 5, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$