Ensembles finis Exemples

$\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{6}{x^{2 - 1}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{6}{x^{1}}$

Étape 1.2

Simplifiez

$\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{6}{x}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 1, x + 1, x$

Étape 2.2

Since $x - 1, x + 1, x$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $x - 1, x + 1, x$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x - 1, x + 1$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 2.8

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun de $x - 1, x + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 1) (x + 1)$

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$x (x - 1) (x + 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{6}{x}$ par $x (x - 1) (x + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{6}{x}$ par $x (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{5}{x - 1} (x (x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{5}{x - 1} ((x - 1) (x (x + 1))) + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{x - 1} ((x - 1) (x (x + 1))) + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 (x (x + 1)) + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 (x^{2} + x) + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + \frac{2}{x + 1} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $x (x - 1) (x + 1)$ .

$5 x^{2} + 5 x + \frac{2}{x + 1} ((x + 1) (x (x - 1))) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$5 x^{2} + 5 x + \frac{2}{x + 1} ((x + 1) (x (x - 1))) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$5 x^{2} + 5 x + 2 (x (x - 1)) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 2 (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 2 (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 2 (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.10

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 2 (x^{2} - x) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} + 2 (- x) = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} - 2 x = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $5 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$7 x^{2} + 5 x - 2 x = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $2 x$ de $5 x$ .

$7 x^{2} + 3 x = \frac{6}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 1) (x + 1)$ .

$7 x^{2} + 3 x = \frac{6}{x} (x ((x - 1) (x + 1)))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$7 x^{2} + 3 x = \frac{6}{x} (x ((x - 1) (x + 1)))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$7 x^{2} + 3 x = 6 ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.2

Développez $(x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x (x + 1) - 1 (x + 1))$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1))$

Étape 3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.1.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x \cdot x - 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 x^{2} + 3 x = 6 (x^{2} - 1)$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 3 x = 6 x^{2} + 6 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.3.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$7 x^{2} + 3 x = 6 x^{2} - 6$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} + 3 x - 6 x^{2} = - 6$

Étape 4.1.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$x^{2} + 3 x = - 6$

Étape 4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$