Ensembles finis Exemples

$14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 14 \cdot - 1 = - 14$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 u$ .

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $2$ plus $- 7$

$14 u^{2} + (2 - 7) u - 1 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$14 u^{2} + 2 u - 7 u - 1 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(14 u^{2} + 2 u) - 7 u - 1 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 u (7 u + 1) - (7 u + 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 u + 1$ .

$(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 u + 1 = 0$

$2 u - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $7 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $7 u + 1$ égal à $0$ .

$7 u + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $7 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$7 u = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $7 u = - 1$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 u = - 1$ par $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{7}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{7}$

Étape 5

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{7}, \frac{1}{2}$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $- \frac{1}{7}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{7}$ .

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Étape 9.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{7}}$

Étape 9.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{7}}$

Étape 9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{7}}$

Étape 9.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{7}}$

Étape 9.2.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Étape 9.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{7}}$

Étape 9.2.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Étape 9.2.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 9.2.7.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 9.2.7.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 9.2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 9.2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 9.2.7.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 9.2.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.2.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 9.2.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 9.2.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 11.3.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 11.3.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 11.3.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 11.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 11.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 11.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 11.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 12

La solution à $14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$ est $x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$