Ensembles finis Exemples

$12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (12 e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (12 e^{6.8 x})$ comme $\ln (12) + \ln (e^{6.8 x})$ .

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2.2

Développez $\ln (e^{6.8 x})$ en déplaçant $6.8 x$ hors du logarithme.

$\ln (12) + 6.8 x \ln (e) = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2.4

Multipliez $6.8$ par $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (8 e^{3 x})$ comme $\ln (8) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + \ln (e^{3 x})$

Étape 3.2

Développez $\ln (e^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \ln (e)$

Étape 3.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (12) - \ln (8) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{12}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $12$ et $8$ .

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Étape 6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\ln (\frac{4 (3)}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{3}{2}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 7

Additionnez $- 6.8 x$ et $3 x$ .

$\ln (\frac{3}{2}) = - 3.8 x$

Étape 8

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ par $- 3.8$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ par $- 3.8$ .

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3.8$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{3.8}$

Étape 9.3.2

Remplacez $e$ par une approximation.

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{3}{2})}{3.8}$

Étape 9.3.3

Divisez $3$ par $2$ .

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (1.5)}{3.8}$

Étape 9.3.4

La base logarithmique $2.71828182$ de $1.5$ est approximativement $0.4054651$ .

$x = - \frac{0.4054651}{3.8}$

Étape 9.3.5

Divisez $0.4054651$ par $3.8$ .

$x = - 1 \cdot 0.10670134$

Étape 9.3.6

Multipliez $- 1$ par $0.10670134$ .

$x = - 0.10670134$