Ensembles finis Exemples

12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}

$12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

ln (12 e^{6.8 x}) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12 e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez

ln (12 e^{6.8 x})

$\ln (12 e^{6.8 x})$ comme

ln (12) + ln (e^{6.8 x})

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x})$ .

ln (12) + ln (e^{6.8 x}) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2.2

Développez

ln (e^{6.8 x})

$\ln (e^{6.8 x})$ en déplaçant

6.8 x

$6.8 x$ hors du logarithme.

ln (12) + 6.8 x ln (e) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x \ln (e) = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de

e

$e$ est

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 2.4

Multipliez

6.8

$6.8$ par

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

ln (12) + 6.8 x = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez

ln (8 e^{3 x})

$\ln (8 e^{3 x})$ comme

ln (8) + ln (e^{3 x})

$\ln (8) + \ln (e^{3 x})$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + ln (e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + \ln (e^{3 x})$

Étape 3.2

Développez

ln (e^{3 x})

$\ln (e^{3 x})$ en déplaçant

3 x

$3 x$ hors du logarithme.

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x ln (e)

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \ln (e)$

Étape 3.3

Le logarithme naturel de

e

$e$ est

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x \cdot 1

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

ln (12) - ln (8) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (12) - \ln (8) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln (\frac{12}{8}) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (\frac{12}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6

Annulez le facteur commun à

12

$12$ et

8

$8$ .

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Étape 6.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

12

$12$ .

ln (\frac{4 (3)}{8}) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (\frac{4 (3)}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

8

$8$ .

ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{3}{2}) = - 6.8 x + 3 x$

Étape 7

Additionnez

$- 6.8 x$ et

$3 x$ .

$\ln (\frac{3}{2}) = - 3.8 x$

Étape 8

Comme

$x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ par

$- 3.8$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ par

$- 3.8$ .

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de

$- 3.8$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Étape 9.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{3.8}$

Étape 9.3.2

Remplacez

$e$ par une approximation.

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{3}{2})}{3.8}$

Étape 9.3.3

Divisez

$3$ par

$2$ .

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (1.5)}{3.8}$

Étape 9.3.4

La base logarithmique

$2.71828182$ de

$1.5$ est approximativement

$0.4054651$ .

$x = - \frac{0.4054651}{3.8}$

Étape 9.3.5

Divisez

$0.4054651$ par

$3.8$ .

$x = - 1 \cdot 0.10670134$

Étape 9.3.6

Multipliez

$- 1$ par

$0.10670134$ .

$x = - 0.10670134$