Ensembles finis Exemples

$2 x (5 x - 7) = 2 x^{2} - 5$

Étape 1

Simplifiez $2 x (5 x - 7)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 2 x (5 x - 7) = 2 x^{2} - 5$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (5 x) + 2 x \cdot - 7 = 2 x^{2} - 5$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 5 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 = 2 x^{2} - 5$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$2 \cdot 5 x \cdot x - 14 x = 2 x^{2} - 5$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 5 (x \cdot x) - 14 x = 2 x^{2} - 5$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \cdot 5 x^{2} - 14 x = 2 x^{2} - 5$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x^{2} - 14 x = 2 x^{2} - 5$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$10 x^{2} - 14 x - 2 x^{2} = - 5$

Étape 2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$8 x^{2} - 14 x = - 5$

Étape 3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x^{2} - 14 x + 5 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 5 = 40$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$8 x^{2} - 14 x + 5 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $- 4$ plus $- 10$

$8 x^{2} + (- 4 - 10) x + 5 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} - 4 x - 10 x + 5 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(8 x^{2} - 4 x) - 10 x + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (4 x - 5) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Étape 6

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $4 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (4 x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{4}$

Forme décimale :

$x = 0.5, 1.25$

Forme de nombre mixte :

$x = \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{4}$