Ensembles finis Exemples

$2 \ln (x) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\ln (x + 4) + \ln (2 x)$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln ((x + 4) (2 x))$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x^{2}) = \ln (x (2 x) + 4 (2 x))$

Étape 2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 4 (2 x))$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 8 x)$

Étape 2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 (x \cdot x) + 8 x)$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} + 8 x)$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} = 2 x^{2} + 8 x$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} + 8 x = x^{2}$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 8 x - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 8 x = 0$

Étape 4.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 8 x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 8 x = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$x (x + 8) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.6

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 4.6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, - 8$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \ln (x) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$ vrai.

$Aucune solution$