Ensembles finis Exemples

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log_{4} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{4} (x^{2}) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$

Étape 3

Réécrivez $\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} = 4 (x - 1)$

Étape 5

Simplifiez $4 (x - 1)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 4 x + 4 \cdot - 1$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} = 4 x - 4$

Étape 6

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x = - 4$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = - 4$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = - 4$

Étape 8

Simplifiez $x (x - 4)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = - 4$

Étape 8.2.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 4 x = - 4$

Étape 9

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 10.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 11

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$