Ensembles finis Exemples

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Étape 1

Réécrivez

e^{2 x}

$e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Étape 2

Remplacez

e^{x}

$e^{x}$ par

u

$u$ .

2 u^{2} - 5 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Étape 3

Résolvez

u

$u$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs

a = 2

$a = 2$ ,

b = - 5

$b = - 5$ et

c = 4

$c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour

u

$u$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Élevez

- 5

$- 5$ à la puissance

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 2 \cdot 4

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez

- 8

$- 8$ par

4

$4$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3

Soustrayez

32

$32$ de

25

$25$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez

- 7

$- 7$ comme

- 1 (7)

$- 1 (7)$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez

\sqrt{- 1 (7)}

$\sqrt{- 1 (7)}$ comme

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.6

Réécrivez

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ comme

i

$i$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Étape 3.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 4

Remplacez

$u$ par

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ dans

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Étape 5

Résolvez

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez

$\ln (e^{x})$ en déplaçant

$x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de

$e$ est

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.3.3

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.4

Développez le côté droit.

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Étape 5.4.1

Réécrivez

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ comme

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Étape 5.4.2

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{7}$ comme

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 5.4.3

Réécrivez

$\ln (4)$ comme

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 5.4.4

Développez

$\ln (2^{2})$ en déplaçant

$2$ hors du logarithme.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Étape 5.4.5

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Simplifiez

$- 2 \ln (2)$ en déplaçant

$2$ dans le logarithme.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 5.5.1.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 5.5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Étape 6

Remplacez

$u$ par

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ dans

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Étape 7

Résolvez

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.3

Développez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Développez

$\ln (e^{x})$ en déplaçant

$x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.3.2

Le logarithme naturel de

$e$ est

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.3.3

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.4

Développez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Réécrivez

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ comme

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Étape 7.4.2

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{7}$ comme

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 7.4.3

Réécrivez

$\ln (4)$ comme

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 7.4.4

Développez

$\ln (2^{2})$ en déplaçant

$2$ hors du logarithme.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Étape 7.4.5

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Étape 7.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1.1

Simplifiez

$- 2 \ln (2)$ en déplaçant

$2$ dans le logarithme.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 7.5.1.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 7.5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$