Ensembles finis Exemples

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 5$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3

Soustrayez $32$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Étape 3.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ dans $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Étape 5

Résolvez $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Étape 5.4

Développez le côté droit.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ comme $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Étape 5.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 5.4.3

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 5.4.4

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Étape 5.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 5.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 5.5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ dans $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.3

Développez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Étape 7.4

Développez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ comme $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Étape 7.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 7.4.3

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 7.4.4

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Étape 7.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Étape 7.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Étape 7.5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$