Ensembles finis Exemples

$24 c^{2} (2 c - 7) = - 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$

Étape 1

Comme $c$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2

Simplifiez $- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 35 (2 c) - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $- 35$ .

$- 70 c - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.3

Multipliez $- 35$ par $- 7$ .

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c) - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 58$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.7.1

Multipliez $c$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.7.1.1

Déplacez $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 (c \cdot c) + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.7.1.2

Multipliez $c$ par $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $- 58$ par $2$ .

$- 70 c + 245 - 116 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 2.2

Additionnez $- 70 c$ et $406 c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Étape 3

Simplifiez $24 c^{2} (2 c - 7)$ .

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Étape 3.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c) + 24 c^{2} \cdot - 7$

Étape 3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c + 24 c^{2} \cdot - 7$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 7$ par $24$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c - 168 c^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $c^{2}$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez $c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c \cdot c^{2}) - 168 c^{2}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $c$ par $c^{2}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c^{1} c^{2}) - 168 c^{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{1 + 2} - 168 c^{2}$

Étape 3.2.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{3} - 168 c^{2}$

Étape 3.2.2

Multipliez $24$ par $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 48 c^{3} - 168 c^{2}$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant $c$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $48 c^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} = - 168 c^{2}$

Étape 4.2

Ajoutez $168 c^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} + 168 c^{2} = 0$

Étape 4.3

Additionnez $- 116 c^{2}$ et $168 c^{2}$ .

$336 c + 245 - 48 c^{3} + 52 c^{2} = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245 = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Étape 5.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0625, \pm 0.25, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.125, \pm 245, \pm 5.1041\overline{6}, \pm 122.5, \pm 10.208\overline{3}, \pm 81.\overline{6}, \pm 15.3125, \pm 61.25, \pm 20.41\overline{6}, \pm 40.8\overline{3}, \pm 30.625, \pm 5, \pm 0.1041\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.208\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 0.3125, \pm 1.25, \pm 0.41\overline{6}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 0.625, \pm 49, \pm 1.0208\overline{3}, \pm 24.5, \pm 2.041\overline{6}, \pm 16.\overline{3}, \pm 3.0625, \pm 12.25, \pm 4.08\overline{3}, \pm 8.1\overline{6}, \pm 6.125, \pm 7, \pm 0.1458\overline{3}, \pm 3.5, \pm 0.291\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 0.4375, \pm 1.75, \pm 0.58\overline{3}, \pm 1.1\overline{6}, \pm 0.875, \pm 35, \pm 0.7291\overline{6}, \pm 17.5, \pm 1.458\overline{3}, \pm 11.\overline{6}, \pm 2.1875, \pm 8.75, \pm 2.91\overline{6}, \pm 5.8\overline{3}, \pm 4.375$

Étape 5.2.3

Remplacez $- 1.25$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1.25$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.3.1

Remplacez $- 1.25$ dans le polynôme.

$- 48 {(- 1.25)}^{3} + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Étape 5.2.3.2

Élevez $- 1.25$ à la puissance $3$ .

$- 48 \cdot - 1.953125 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 48$ par $- 1.953125$ .

$93.75 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Étape 5.2.3.4

Élevez $- 1.25$ à la puissance $2$ .

$93.75 + 52 \cdot 1.5625 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $52$ par $1.5625$ .

$93.75 + 81.25 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $93.75$ et $81.25$ .

$175 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Étape 5.2.3.7

Multipliez $336$ par $- 1.25$ .

$175 - 420 + 245$

Étape 5.2.3.8

Soustrayez $420$ de $175$ .

$- 245 + 245$

Étape 5.2.3.9

Additionnez $- 245$ et $245$ .

$0$

Étape 5.2.4

Comme $- 1.25$ est une racine connue, divisez le polynôme par $4 c + 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245}{4 c + 5}$

Étape 5.2.5

Divisez $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ par $4 c + 5$ .

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Étape 5.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 c$

$5$

$48 c^{3}$

$52 c^{2}$

$336 c$

$245$

Étape 5.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 48 c^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 c$ .

				-	$12 c^{2}$
	$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$

Étape 5.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			-	$48 c^{3}$	-	$60 c^{2}$

Étape 5.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 48 c^{3} - 60 c^{2}$

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$

Étape 5.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$

Étape 5.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Étape 5.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $112 c^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Étape 5.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					+	$112 c^{2}$	+	$140 c$

Étape 5.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $112 c^{2} + 140 c$

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$

Étape 5.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$

Étape 5.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Étape 5.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $196 c$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Étape 5.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							+	$196 c$	+	$245$

Étape 5.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $196 c + 245$

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$

Étape 5.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$
										$0$

Étape 5.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 12 c^{2} + 28 c + 49$

Étape 5.2.6

Écrivez $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ comme un ensemble de facteurs.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 c + 49) = 0$

Étape 5.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 12 \cdot 49 = - 588$ et dont la somme est $b = 28$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Factorisez $28$ à partir de $28 c$ .

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 (c) + 49) = 0$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez $28$ comme $- 14$ plus $42$

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + (- 14 + 42) c + 49) = 0$

Étape 5.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} - 14 c + 42 c + 49) = 0$

Étape 5.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 c + 5) ((- 12 c^{2} - 14 c) + 42 c + 49) = 0$

Étape 5.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(4 c + 5) (2 c (- 6 c - 7) - 7 (- 6 c - 7)) = 0$

Étape 5.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 6 c - 7$ .

$(4 c + 5) ((- 6 c - 7) (2 c - 7)) = 0$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 c + 5 = 0$

$- 6 c - 7 = 0$

$2 c - 7 = 0$

Étape 7

Définissez $4 c + 5$ égal à $0$ et résolvez $c$ .

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Étape 7.1

Définissez $4 c + 5$ égal à $0$ .

$4 c + 5 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $4 c + 5 = 0$ pour $c$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 c = - 5$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $4 c = - 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 c = - 5$ par $4$ .

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{- 5}{4}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$c = - \frac{5}{4}$

Étape 8

Définissez $- 6 c - 7$ égal à $0$ et résolvez $c$ .

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Étape 8.1

Définissez $- 6 c - 7$ égal à $0$ .

$- 6 c - 7 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $- 6 c - 7 = 0$ pour $c$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 c = 7$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $- 6 c = 7$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 c = 7$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{7}{- 6}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$c = - \frac{7}{6}$

Étape 9

Définissez $2 c - 7$ égal à $0$ et résolvez $c$ .

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Étape 9.1

Définissez $2 c - 7$ égal à $0$ .

$2 c - 7 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $2 c - 7 = 0$ pour $c$ .

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Étape 9.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$2 c = 7$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $2 c = 7$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 c = 7$ par $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{7}{2}$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$ vraie.

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Forme décimale :

$c = - 1.25, - 1.1\overline{6}, 3.5$

Forme de nombre mixte :

$c = - 1 \frac{1}{4}, - 1 \frac{1}{6}, 3 \frac{1}{2}$