Ensembles finis Exemples

${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Étape 1

Simplifiez ${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5})$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 c - 3}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{5^{2}} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Étape 1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Étape 1.1.3

Associez $2$ et $\frac{2 c - 3}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} = 8$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} \cdot \frac{5}{5} = 8$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{5 \cdot 5} = 8$

Étape 1.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Factorisez $2 c - 3$ à partir de ${(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2 c - 3$ à partir de ${(2 c - 3)}^{2}$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $2 c - 3$ à partir de $2 (2 c - 3) \cdot 5$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)}{25} = 8$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $2 c - 3$ à partir de $(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 2 \cdot 5)}{25} = 8$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 10)}{25} = 8$

Étape 1.5.3

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} = 8$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $25$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(2 c - 3) (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.2

Développez $(2 c - 3) (2 c + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 c (2 c + 7) - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 c \cdot c + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3.1.2

Multipliez $c$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.3.1.2.1

Déplacez $c$ .

$2 \cdot 2 (c \cdot c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3.1.2.2

Multipliez $c$ par $c$ .

$2 \cdot 2 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3.1.4

Multipliez $7$ par $2$ .

$4 c^{2} + 14 c - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 21 = 8 \cdot 25$

Étape 3.1.1.3.2

Soustrayez $6 c$ de $14 c$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 8 \cdot 25$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $8$ par $25$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 200$

Étape 4

Résolvez $c$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $200$ des deux côtés de l’équation.

$4 c^{2} + 8 c - 21 - 200 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $200$ de $- 21$ .

$4 c^{2} + 8 c - 221 = 0$

Étape 4.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 221 = - 884$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 c$ .

$4 c^{2} + 8 (c) - 221 = 0$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 26$ plus $34$

$4 c^{2} + (- 26 + 34) c - 221 = 0$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 c^{2} - 26 c + 34 c - 221 = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 c^{2} - 26 c) + 34 c - 221 = 0$

Étape 4.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 c (2 c - 13) + 17 (2 c - 13) = 0$

Étape 4.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 c - 13$ .

$(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 c - 13 = 0$

$2 c + 17 = 0$

Étape 4.5

Définissez $2 c - 13$ égal à $0$ et résolvez $c$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $2 c - 13$ égal à $0$ .

$2 c - 13 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $2 c - 13 = 0$ pour $c$ .

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Étape 4.5.2.1

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$2 c = 13$

Étape 4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 c = 13$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 c = 13$ par $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Étape 4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Étape 4.5.2.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{13}{2}$

Étape 4.6

Définissez $2 c + 17$ égal à $0$ et résolvez $c$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $2 c + 17$ égal à $0$ .

$2 c + 17 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $2 c + 17 = 0$ pour $c$ .

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Étape 4.6.2.1

Soustrayez $17$ des deux côtés de l’équation.

$2 c = - 17$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 c = - 17$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 c = - 17$ par $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{- 17}{2}$

Étape 4.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$c = - \frac{17}{2}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$ vraie.

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Forme décimale :

$c = 6.5, - 8.5$

Forme de nombre mixte :

$c = 6 \frac{1}{2}, - 8 \frac{1}{2}$