Ensembles finis Exemples

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Étape 2

Réécrivez $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Étape 3

Résolvez $b$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{27}{64}$ des deux côtés de l’équation.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{27}{64}$ comme ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = b$ et $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Associez $b$ et $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $3$ par $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Étape 3.2.3.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Étape 3.2.3.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Étape 3.4

Définissez $b - \frac{3}{4}$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $b - \frac{3}{4}$ égal à $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $\frac{3}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$b = \frac{3}{4}$

Étape 3.5

Définissez $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ égal à $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ pour $b$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $16$ , puis simplifiez.

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 3.5.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Étape 3.5.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Étape 3.5.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.3

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 12$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez

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Étape 3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Étape 3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.2.4.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 3.5.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ vraie.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$