Ensembles finis Exemples

$s \cdot 4 = \frac{- a (10 (1 - r^{4}))}{1 - r}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{- a \cdot (10 (1 - r^{4}))}{1 - r} = s \cdot 4$ .

$\frac{- a \cdot (10 (1 - r^{4}))}{1 - r} = s \cdot 4$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $1 - r$ .

$\frac{- a \cdot (10 (1 - r^{4}))}{1 - r} (1 - r) = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{- a \cdot (10 (1 - r^{4}))}{1 - r} (1 - r)$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - r$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- a \cdot (10 (1 - r^{4}))}{1 - r} (1 - r) = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- a \cdot (10 (1 - r^{4})) = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 10 a \cdot (1 - r^{4}) = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 a \cdot 1 - 10 a (- r^{4}) = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1.4.1

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$- 10 a - 10 a (- r^{4}) = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.1.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 10 a - 10 \cdot - 1 a r^{4} = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.1.1.4.3

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$- 10 a + 10 a r^{4} = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.1.1.4.4

Remettez dans l’ordre $- 10 a$ et $10 a r^{4}$ .

$10 a r^{4} - 10 a = s \cdot 4 (1 - r)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $s \cdot 4 (1 - r)$ .

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Étape 3.2.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $s$ .

$10 a r^{4} - 10 a = 4 \cdot s (1 - r)$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 a r^{4} - 10 a = 4 s \cdot 1 + 4 s (- r)$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$10 a r^{4} - 10 a = 4 s + 4 s (- r)$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 a r^{4} - 10 a = 4 s + 4 \cdot - 1 s r$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$10 a r^{4} - 10 a = 4 s - 4 s r$

Étape 3.2.1.3.4

Déplacez $s$ .

$10 a r^{4} - 10 a = 4 s - 4 r s$

Étape 3.2.1.3.5

Remettez dans l’ordre $4 s$ et $- 4 r s$ .

$10 a r^{4} - 10 a = - 4 r s + 4 s$

Étape 4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.1

Factorisez $10 a$ à partir de $10 a r^{4} - 10 a$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $10 a$ à partir de $10 a r^{4}$ .

$10 a (r^{4}) - 10 a = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.1.2

Factorisez $10 a$ à partir de $- 10 a$ .

$10 a (r^{4}) + 10 a (- 1) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.1.3

Factorisez $10 a$ à partir de $10 a (r^{4}) + 10 a (- 1)$ .

$10 a (r^{4} - 1) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.2

Réécrivez $r^{4}$ comme ${(r^{2})}^{2}$ .

$10 a ({(r^{2})}^{2} - 1) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$10 a ({(r^{2})}^{2} - 1^{2}) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r^{2}$ et $b = 1$ .

$10 a ((r^{2} + 1) (r^{2} - 1)) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.5

Factorisez.

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Étape 4.5.1

Simplifiez

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Étape 4.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$10 a ((r^{2} + 1) (r^{2} - 1^{2})) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.5.1.2

Factorisez.

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Étape 4.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = 1$ .

$10 a ((r^{2} + 1) ((r + 1) (r - 1))) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 a ((r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 a (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1) = - 4 r s + 4 s$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $10 a (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1) = - 4 r s + 4 s$ par $10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $10 a (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1) = - 4 r s + 4 s$ par $10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)$ .

$\frac{10 a (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 a (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((a (r^{2} + 1)) (r + 1)) (r - 1)}{((r^{2} + 1) (r + 1)) (r - 1)} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun de $r^{2} + 1$ .

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Étape 4.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}{(r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((a) (r + 1)) (r - 1)}{(r + 1) (r - 1)} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2.3

Annulez le facteur commun de $r + 1$ .

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Étape 4.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (r + 1) (r - 1)}{(r + 1) (r - 1)} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a) (r - 1)}{r - 1} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2.4

Annulez le facteur commun de $r - 1$ .

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Étape 4.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (r - 1)}{r - 1} = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.2.4.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- 4 r s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

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Étape 4.6.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 r s$ .

$a = \frac{2 (- 2 r s)}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)$ .

$a = \frac{2 (- 2 r s)}{2 (5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1))} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{2 (- 2 r s)}{2 (5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1))} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{- 2 r s}{5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{2 r s}{5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{4 s}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.3.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 4.6.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 s$ .

$a = - \frac{2 r s}{5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{2 (2 s)}{10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$

Étape 4.6.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)$ .

$a = - \frac{2 r s}{5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{2 (2 s)}{2 (5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1))}$

Étape 4.6.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = - \frac{2 r s}{5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{2 (2 s)}{2 (5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1))}$

Étape 4.6.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = - \frac{2 r s}{5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)} + \frac{2 s}{5 (r^{2} + 1) (r + 1) (r - 1)}$