Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{12}$

Étape 2.2.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{12}$

Étape 2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} - \frac{1}{12}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{6}{12} - \frac{1}{12}$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 - 1}{12}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{5}{12}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{5}{12}} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{12}{5}) [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $\frac{12}{5}$ par $1$ .

$\frac{12}{5} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $\frac{12}{5}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.1.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 3 & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{3}{5}$ et $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 3}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.4.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \cdot - 1 \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.5

Associez $\frac{3}{5}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3 \cdot - 1}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{- 3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.8.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.8.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.8.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \cdot - 1 & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.9

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4 \cdot - 1}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.12.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.12.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 8.12.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 8.13

Associez $\frac{4}{5}$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4 \cdot 2}{5} \end{array}]$

Étape 8.14

Multipliez $4$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{8}{5} \end{array}]$