Ensembles finis Exemples

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

Écrivez $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ comme une équation.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

Interchangez les variables.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

Résolvez $y$ .

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Réécrivez l’équation comme $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ .

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Résolvez $\sqrt{y}$ .

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Simplifiez $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ .

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Développez $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Appliquez la propriété distributive.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Appliquez la propriété distributive.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multipliez $\sqrt{y}$ par $\sqrt{y}$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multipliez $\sqrt{y}$ par $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multipliez $9$ par $7$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multipliez $3$ par $9$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

Soustrayez $35 \sqrt{y}$ de $27 \sqrt{y}$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Remplacez les valeurs $a = 63$ , $b = - 8$ et $c = - 15 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $\sqrt{y}$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 4$ par $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 252$ par $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 1$ par $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Additionnez $64$ et $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $3844 + 252 x$ .

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Factorisez $4$ à partir de $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Réécrivez $4 (961 + 63 x)$ comme $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

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Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Réécrivez $961$ comme $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Élevez $31$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $2$ par $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 4$ par $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 252$ par $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 1$ par $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Additionnez $64$ et $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $3844 + 252 x$ .

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Factorisez $4$ à partir de $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Réécrivez $4 (961 + 63 x)$ comme $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

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Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Réécrivez $961$ comme $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Élevez $31$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $2$ par $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 4$ par $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 252$ par $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $- 1$ par $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Additionnez $64$ et $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $3844 + 252 x$ .

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Factorisez $4$ à partir de $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Factorisez $4$ à partir de $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Réécrivez $4 (961 + 63 x)$ comme $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

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Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Réécrivez $961$ comme $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Élevez $31$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Multipliez $2$ par $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Simplifiez

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

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Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ et $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ puis comparez-les.

Déterminez la plage de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

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La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

Déterminez le domaine de $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ .

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Définissez le radicande dans $\sqrt{961 + 63 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$961 + 63 x \geq 0$

Résolvez $x$ .

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Soustrayez $961$ des deux côtés de l’inégalité.

$63 x \geq - 961$

Divisez chaque terme dans $63 x \geq - 961$ par $63$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $63 x \geq - 961$ par $63$ .

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $63$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 961}{63}$

Simplifiez le côté droit.

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Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{961}{63}$

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ , $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ n’est pas un inverse de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Il n’y a pas d’inverse

Step 6