Ensembles finis Exemples

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Étape 1

Soustrayez $\cos (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Additionnez $79 \sin^{2} (x)$ et $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $81 \sin^{2} (x)$ comme ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Étape 3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 9 \sin (x)$ et $b = 1$ .

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $9 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $9 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $9 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$9 \sin (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $9 \sin (x) = - 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (x) = - 1$ par $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

Étape 5.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1}{9})$ .

$x = - 0.11134101$

Étape 5.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

Étape 5.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 5.2.6.2

L’angle résultant de $3.25293366$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 3.25293366$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.11134101$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.11134101 + 2 π$

Étape 5.2.8.2

Soustrayez $0.11134101$ de $2 π$ .

$6.17184429$

Étape 5.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 6.17184429$

Étape 5.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $9 \sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $9 \sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $9 \sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 \sin (x) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $9 \sin (x) = 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (x) = 1$ par $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{9})$ .

$x = 0.11134101$

Étape 6.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Étape 6.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

Étape 6.2.6.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Étape 6.2.6.3

Soustrayez $0.11134101$ de $3.14159265$ .

$x = 3.03025163$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $3.25293366 + 2 π n$ et $0.11134101 + 2 π n$ en $0.11134101 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $6.17184429 + 2 π n$ et $3.03025163 + 2 π n$ en $3.03025163 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ , pour tout entier $n$