Ensembles finis Exemples

$a (n) = \frac{n + 1}{n + 3}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, n + 3$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$1, n + 3$

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$n + 3$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ par $n + 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ par $n + 3$ .

$a n (n + 3) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a n \cdot n + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Étape 2.2.2

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1

Déplacez $n$ .

$a (n \cdot n) + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$a n^{2} + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Étape 2.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $a n$ .

$a n^{2} + 3 \cdot (a n) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $n + 3$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$a n^{2} + 3 a n = n + 1$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $n$ des deux côtés de l’équation.

$a n^{2} + 3 a n - n = 1$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$a n^{2} + 3 a n - n - 1 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = a$ , $b = 3 a - 1$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $n$ .

$\frac{- (3 a - 1) \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot - 1)}}{2 a}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$n = \frac{- (3 a) + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.4

Réécrivez ${(3 a - 1)}^{2}$ comme $(3 a - 1) (3 a - 1)$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{(3 a - 1) (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.5

Développez $(3 a - 1) (3 a - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a - 1) - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.6.1.2.1

Déplacez $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (a \cdot a)) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a^{2}) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.6.2

Soustrayez $3 a$ de $- 3 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Étape 3.5.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 + 4 a}}{2 a}$

Étape 3.5.8

Additionnez $- 6 a$ et $4 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$