Ensembles finis Exemples

$\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (r (r - 2)) = 3$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (r \cdot r + r \cdot - 2) = 3$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$\log_{2} (r^{2} + r \cdot - 2) = 3$

Étape 1.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $r$ .

$\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$

Étape 2

Réécrivez $\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = r^{2} - 2 r$

Étape 3

Résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $r^{2} - 2 r = 2^{3}$ .

$r^{2} - 2 r = 2^{3}$

Étape 3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$r^{2} - 2 r = 8$

Étape 3.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $r^{2} - 2 r - 8$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $r - 4$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Définissez $r - 4$ égal à $0$ .

$r - 4 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 4$

Étape 3.7

Définissez $r + 2$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Définissez $r + 2$ égal à $0$ .

$r + 2 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r - 4) (r + 2) = 0$ vraie.

$r = 4, - 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$ vrai.

$r = 4$