Ensembles finis Exemples

${(x^{2} - 6 x)}^{2} - 2 (x^{2} - 6 x) - 35 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 6 x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2} - 6 x$ par $u$ .

$u^{2} - 2 u - 35 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - 2 u - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 7, 5$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 7) (u + 5) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x$ .

$(x^{2} - 6 x - 7) (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{2} - 6 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{2} - 6 x - 7$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x - 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 7, 1$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.2.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 7, - 1$

Étape 4

Définissez $x^{2} - 6 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} - 6 x + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Étape 4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4.2.3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.2.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, 1$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 6 x - 7) (x^{2} - 6 x + 5) = 0$ vraie.

$x = 7, - 1, 5, 1$