Ensembles finis Exemples

${(x^{\frac{1}{3}} + y^{- 1})}^{- 1} = \frac{5}{11}$

Étape 1

Simplifiez les deux côtés.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{y})}^{- 1} = \frac{5}{11}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{y}} = \frac{5}{11}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Pour écrire $x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{3}} y}{y} + \frac{1}{y}} = \frac{5}{11}$

Étape 1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{3}} y + 1}{y}} = \frac{5}{11}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1}$ par $1$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$

Étape 1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$ .

$\frac{y}{y x^{\frac{1}{3}} + 1} = \frac{5}{11}$

Étape 2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$y \cdot 11 = (y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ .

$(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ par $5$ .

$\frac{(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5}{5} = \frac{y \cdot 11}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5}{5} = \frac{y \cdot 11}{5}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $y x^{\frac{1}{3}} + 1$ par $1$ .

$y x^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{y \cdot 11}{5}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Déplacez $11$ à gauche de $y$ .

$y x^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{11 y}{5}$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y x^{\frac{1}{3}} - \frac{11 y}{5} = - 1$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\frac{11 y}{5}$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{\frac{1}{3}} = - 1 + \frac{11 y}{5}$

Étape 3.4

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez ${(y x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $y x^{\frac{1}{3}}$ .

$y^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} x^{1} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.1.1.3

Simplifiez

$y^{3} x = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y^{3} x = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 \cdot 1 \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.4

Multipliez $3 \frac{11 y}{5}$ .

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Étape 3.5.2.1.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{11 y}{5}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{3 (11 y)}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.4.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.5.2.1.2.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11 y}{5}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{{(11 y)}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.6.2

Appliquez la règle de produit à $11 y$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{11^{2} y^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.7

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{121 y^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.8

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{121 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.9

Multipliez $- 3 \frac{121 y^{2}}{25}$ .

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Étape 3.5.2.1.2.9.1

Associez $- 3$ et $\frac{121 y^{2}}{25}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + \frac{- 3 (121 y^{2})}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.9.2

Multipliez $121$ par $- 3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + \frac{- 363 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.5.2.1.2.11.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11 y}{5}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{{(11 y)}^{3}}{5^{3}}$

Étape 3.5.2.1.2.11.2

Appliquez la règle de produit à $11 y$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{11^{3} y^{3}}{5^{3}}$

Étape 3.5.2.1.2.12

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{5^{3}}$

Étape 3.5.2.1.2.13

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$ par $y^{3}$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$ par $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} x}{y^{3}} = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} x}{y^{3}} = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 y}{5} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.3

Associez.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 y \cdot 1}{5 y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.4

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{3}$ .

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Étape 3.6.3.1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $33 y \cdot 1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{5 y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.3.1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $5 y^{3}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{y (5 y^{2})} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{y (5 y^{2})} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 \cdot 1}{5 y^{2}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.5

Multipliez $33$ par $1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363 y^{2}}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.7

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.6.3.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{363 y^{2}}{25}$ dans le numérateur.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363 y^{2}}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.7.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 363 y^{2}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.7.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{2} y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.7.4

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{2} y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.7.5

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363}{25} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.8

Multipliez $\frac{- 363}{25}$ par $\frac{1}{y}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363}{25 y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3}}{125} \cdot \frac{1}{y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.11

Associez.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3} \cdot 1}{125 y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.12

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 3.6.3.1.12.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3} \cdot 1}{125 y^{3}}$

Étape 3.6.3.1.12.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 \cdot 1}{125}$

Étape 3.6.3.1.13

Multipliez $1331$ par $1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331}{125}$