Ensembles finis Exemples

$(12 x - 1) \cdot (6 x - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1

Simplifiez $(12 x - 1) \cdot (6 x - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1)$ .

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Étape 1.1

Développez $(12 x - 1) (6 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(12 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1)) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(12 x (6 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1)) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(12 x (6 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(12 \cdot 6 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(12 \cdot 6 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(12 \cdot 6 x^{2} + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $12$ par $6$ .

$(72 x^{2} + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 6 x - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 6 x + 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.2.2

Soustrayez $6 x$ de $- 12 x$ .

$(72 x^{2} - 18 x + 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.3

Développez $(72 x^{2} - 18 x + 1) (4 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(72 x^{2} (4 x) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(72 \cdot 4 x^{2} x + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(72 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(72 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(72 \cdot 4 x^{1 + 2} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(72 \cdot 4 x^{3} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $72$ par $4$ .

$(288 x^{3} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $72$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 x \cdot x - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.6.1

Déplacez $x$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 (x \cdot x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 x^{2} - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.7

Multipliez $- 18$ par $4$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.9

Multipliez $4 x$ par $1$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 4 x + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.1.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.2.1

Soustrayez $72 x^{2}$ de $- 72 x^{2}$ .

$(288 x^{3} - 144 x^{2} + 18 x + 4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $18 x$ et $4 x$ .

$(288 x^{3} - 144 x^{2} + 22 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Étape 1.5

Développez $(288 x^{3} - 144 x^{2} + 22 x - 1) (3 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$288 x^{3} (3 x) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$288 \cdot 3 x^{3} x + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$288 \cdot 3 (x \cdot x^{3}) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.6.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$288 \cdot 3 (x^{1} x^{3}) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$288 \cdot 3 x^{1 + 3} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$288 \cdot 3 x^{4} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $288$ par $3$ .

$864 x^{4} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $288$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{2} x - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.6.1

Déplacez $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{1 + 2} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{3} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $- 144$ par $3$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 144$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 x \cdot x + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.10.1

Déplacez $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 (x \cdot x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 x^{2} + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.11

Multipliez $22$ par $3$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.12

Multipliez $- 1$ par $22$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.13

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x - 1 \cdot - 1 = 5$

Étape 1.6.1.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Étape 1.6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.6.2.1

Soustrayez $432 x^{3}$ de $- 288 x^{3}$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Étape 1.6.2.2

Additionnez $144 x^{2}$ et $66 x^{2}$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Étape 1.6.2.3

Soustrayez $3 x$ de $- 22 x$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x + 1 = 5$

Étape 2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x + 1 - 5 = 0$

Étape 3

Soustrayez $5$ de $1$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 864, \pm 2, \pm 432, \pm 3, \pm 288, \pm 4, \pm 216, \pm 6, \pm 144, \pm 8, \pm 108, \pm 9, \pm 96, \pm 12, \pm 72, \pm 16, \pm 54, \pm 18, \pm 48, \pm 24, \pm 36, \pm 27, \pm 32$

Étape 4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.0011574, \pm 0.5, \pm 0.0023\overline{148}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.00347\overline{2}, \pm 0.25, \pm 0.004\overline{629}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.0069\overline{4}, \pm 0.125, \pm 0.00\overline{925}, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.01041\overline{6}, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.013\overline{8}, \pm 0.0625, \pm 0.0\overline{185}, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.02\overline{7}, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.03125, \pm 4, \pm 2, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{4}, \pm 0.\overline{074}, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{148}$

Étape 4.1.3

Remplacez $- 0.08\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.08\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1.3.1

Remplacez $- 0.08\overline{3}$ dans le polynôme.

$864 {(- 0.08\overline{3})}^{4} - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.2

Élevez $- 0.08\overline{3}$ à la puissance $4$ .

$864 \cdot 0.00004822 - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $864$ par $0.00004822$ .

$0.04166666 - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.4

Élevez $- 0.08\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$0.04166666 - 720 \cdot - 0.0005787 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $- 720$ par $- 0.0005787$ .

$0.04166666 + 0.41666666 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.6

Additionnez $0.04166666$ et $0.41666666$ .

$0.45833333 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.7

Élevez $- 0.08\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$0.45833333 + 210 \cdot 0.0069\overline{4} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.8

Multipliez $210$ par $0.0069\overline{4}$ .

$0.45833333 + 1.45833333 - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.9

Additionnez $0.45833333$ et $1.45833333$ .

$1.91666666 - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $- 25$ par $- 0.08\overline{3}$ .

$1.91666666 + 2.08333333 - 4$

Étape 4.1.3.11

Additionnez $1.91666666$ et $2.08333333$ .

$4 - 4$

Étape 4.1.3.12

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 4.1.4

Comme $- 0.08\overline{3}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $12 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4}{12 x + 1}$

Étape 4.1.5

Divisez $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ par $12 x + 1$ .

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Étape 4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

Étape 4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $864 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $12 x$ .

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

Étape 4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

Étape 4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $864 x^{4} + 72 x^{3}$

				$72 x^{3}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$

Étape 4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$72 x^{3}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$

Étape 4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

Étape 4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 792 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

Étape 4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$	+	$210 x^{2}$
					-	$792 x^{3}$	-	$66 x^{2}$

Étape 4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 792 x^{3} - 66 x^{2}$

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

Étape 4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

Étape 4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

Étape 4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $276 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

Étape 4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

Étape 4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $276 x^{2} + 23 x$

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

Étape 4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

Étape 4.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

Étape 4.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 48 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

Étape 4.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$	+	$210 x^{2}$
					+	$792 x^{3}$	+	$66 x^{2}$
							+	$276 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$276 x^{2}$	-	$23 x$
									-	$48 x$	-	$4$
									-	$48 x$	-	$4$

Étape 4.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 48 x - 4$

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

$48 x$

$4$

Étape 4.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

$48 x$

$4$

$0$

Étape 4.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$

Étape 4.1.6

Écrivez $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(12 x + 1) (72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Étape 4.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.013\overline{8}, \pm 0.5, \pm 0.02\overline{7}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.25, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.125, \pm 0.\overline{1}, \pm 4, \pm 2, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{4}$

Étape 4.2.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.2.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$72 \cdot {0.5}^{3} - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Étape 4.2.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$72 \cdot 0.125 - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Étape 4.2.1.3.3

Multipliez $72$ par $0.125$ .

$9 - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Étape 4.2.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$9 - 66 \cdot 0.25 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Étape 4.2.1.3.5

Multipliez $- 66$ par $0.25$ .

$9 - 16.5 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Étape 4.2.1.3.6

Soustrayez $16.5$ de $9$ .

$- 7.5 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Étape 4.2.1.3.7

Multipliez $23$ par $0.5$ .

$- 7.5 + 11.5 - 4$

Étape 4.2.1.3.8

Additionnez $- 7.5$ et $11.5$ .

$4 - 4$

Étape 4.2.1.3.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 4.2.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4}{2 x - 1}$

Étape 4.2.1.5

Divisez $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ par $2 x - 1$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

Étape 4.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $72 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$36 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$

Étape 4.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			+	$72 x^{3}$	-	$36 x^{2}$

Étape 4.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $72 x^{3} - 36 x^{2}$

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$

Étape 4.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$

Étape 4.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$

Étape 4.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 30 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$

Étape 4.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$30 x^{2}$	+	$15 x$

Étape 4.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 30 x^{2} + 15 x$

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 4.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$

Étape 4.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 4.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 4.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 4.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x - 4$

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Étape 4.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Étape 4.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$36 x^{2} - 15 x + 4$

Étape 4.2.1.6

Écrivez $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(12 x + 1) ((2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(12 x + 1) (2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$12 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$

Étape 6

Définissez $12 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $12 x + 1$ égal à $0$ .

$12 x + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $12 x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$12 x = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $12 x = - 1$ par $12$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 x = - 1$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 1}{12}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 1}{12}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{12}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{12}$

Étape 7

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 8

Définissez $36 x^{2} - 15 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $36 x^{2} - 15 x + 4$ égal à $0$ .

$36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 36$ , $b = - 15$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (36 \cdot 4)}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 36 \cdot 4}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 36 \cdot 4$ .

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Étape 8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144 \cdot 4}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 144$ par $4$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 576}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.3

Soustrayez $576$ de $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 351}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.4

Réécrivez $- 351$ comme $- 1 (351)$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 351}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (351)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{351}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{351}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{351}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.7

Réécrivez $351$ comme $3^{2} \cdot 39$ .

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Étape 8.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $351$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{9 (39)}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{15 \pm i \cdot (3 \sqrt{39})}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{2 \cdot 36}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$x = \frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{72}$

Étape 8.2.3.3

Simplifiez $\frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{72}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{39}}{24}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + i \sqrt{39}}{24}, \frac{5 - i \sqrt{39}}{24}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(12 x + 1) (2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{12}, \frac{1}{2}, \frac{5 + i \sqrt{39}}{24}, \frac{5 - i \sqrt{39}}{24}$