Ensembles finis Exemples

$(1 - 2 i) x + (1 + 2 i) y = 1 + i$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 x - 2 i x + (1 + 2 i) y = 1 + i$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x - 2 i x + (1 + 2 i) y = 1 + i$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x - 2 i x + 1 y + 2 i y = 1 + i$

Étape 1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x - 2 i x + y + 2 i y = 1 + i$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x - 2 i x + 2 i y = 1 + i - y$

Étape 2.2

Soustrayez $2 i y$ des deux côtés de l’équation.

$x - 2 i x = 1 + i - y - 2 i y$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x - 2 i x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - 2 i x = 1 + i - y - 2 i y$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 i x$ .

$x \cdot 1 + x (- 2 i) = 1 + i - y - 2 i y$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 2 i)$ .

$x (1 - 2 i) = 1 + i - y - 2 i y$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $x (1 - 2 i) = 1 + i - y - 2 i y$ par $1 - 2 i$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $x (1 - 2 i) = 1 + i - y - 2 i y$ par $1 - 2 i$ .

$\frac{x (1 - 2 i)}{1 - 2 i} = \frac{1}{1 - 2 i} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 i$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - 2 i)}{1 - 2 i} = \frac{1}{1 - 2 i} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{1 - 2 i} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{1 - 2 i}$ par le conjugué de $1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{1}{1 - 2 i} \cdot \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez.

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Étape 4.3.1.2.1

Associez.

$x = \frac{1 (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $1 + 2 i$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.2.3.1

Développez $(1 - 2 i) (1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1 + 2 i}{1 (1 + 2 i) - 2 i (1 + 2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i (1 + 2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 2 i (2 i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.9

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 - 4 i^{2}} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{1 + 4} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1 + 2 i}{5} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.3

Divisez la fraction $\frac{1 + 2 i}{5}$ en deux fractions.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i}{1 - 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i}{1 - 2 i}$ par le conjugué de $1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i}{1 - 2 i} \cdot \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez.

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Étape 4.3.1.5.1

Associez.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i \cdot 1 + i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i + i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.3

Multipliez $i (2 i)$ .

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Étape 4.3.1.5.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i + 2 (i^{1} i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i + 2 (i^{1} i^{1})}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i + 2 i^{1 + 1}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i + 2 i^{2}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.5.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i + 2 \cdot - 1}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i - 2}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.2.5

Remettez dans l’ordre $i$ et $- 2$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.5.3.1

Développez $(1 - 2 i) (1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 (1 + 2 i) - 2 i (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i (1 + 2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.5.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 2 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 2 i - 2 i - 2 i (2 i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.9

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 - 4 i^{2}} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.5.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{1 + 4} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.5.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2 + i}{5} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.6

Divisez la fraction $\frac{- 2 + i}{5}$ en deux fractions.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{- 2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y}{1 - 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.8

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- y}{1 - 2 i}$ par le conjugué de $1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y}{1 - 2 i} \cdot \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9

Multipliez.

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Étape 4.3.1.9.1

Associez.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y \cdot 1 - y (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - y (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.9.3.1

Développez $(1 - 2 i) (1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 (1 + 2 i) - 2 i (1 + 2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i (1 + 2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.9.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 2 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 2 i - 2 i - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.9

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 - 4 i^{2}} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.9.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{1 + 4} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- y - 2 y i}{5} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.10

Factorisez $y$ à partir de $- y - 2 y i$ .

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Étape 4.3.1.10.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y \cdot - 1 - 2 y i}{5} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.10.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y i$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y \cdot - 1 + y (- 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.10.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 1 + y (- 2 i)$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.11

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 2 i y}{1 - 2 i}$ par le conjugué de $1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y}{1 - 2 i} \cdot \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.12

Multipliez.

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Étape 4.3.1.12.1

Associez.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.12.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y \cdot 1 - 2 i y (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y - 2 i y (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3

Multipliez $- 2 i y (2 i)$ .

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Étape 4.3.1.12.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y - 4 i y i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y - 4 y (i^{1} i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y - 4 y (i^{1} i^{1})}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y - 4 y i^{1 + 1}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y - 4 y i^{2}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.12.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y - 4 y \cdot - 1}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.12.3.1

Développez $(1 - 2 i) (1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.12.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 (1 + 2 i) - 2 i (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i (1 + 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.12.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 2 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 2 i - 2 i - 2 i (2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i}$

Étape 4.3.1.12.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.1.12.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.1.12.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.1.12.3.2.9

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.1.12.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.1.12.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.12.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 - 4 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.12.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{1 + 4}$

Étape 4.3.1.12.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{- 2 i y + 4 y}{5}$

Étape 4.3.1.13

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 i y + 4 y$ .

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Étape 4.3.1.13.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 i y$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{2 y (- i) + 4 y}{5}$

Étape 4.3.1.13.2

Factorisez $2 y$ à partir de $4 y$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{2 y (- i) + 2 y (2)}{5}$

Étape 4.3.1.13.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (- i) + 2 y (2)$ .

$x = \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{y (- 1 - 2 i)}{5} + \frac{2 y (- i + 2)}{5}$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{1 + 2 i - 2 + i + y (- 1 - 2 i) + 2 y (- i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1 + 2 i - 2 + i + y \cdot - 1 + y (- 2 i) + 2 y (- i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$x = \frac{1 + 2 i - 2 + i - 1 \cdot y + y (- 2 i) + 2 y (- i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$x = \frac{1 + 2 i - 2 + i - y + y (- 2 i) + 2 y (- i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1 + 2 i - 2 + i - y + y (- 2 i) + 2 y (- i) + 2 y \cdot 2}{5}$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{1 + 2 i - 2 + i - y + y (- 2 i) - 2 y i + 2 y \cdot 2}{5}$

Étape 4.3.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1 + 2 i - 2 + i - y + y (- 2 i) - 2 y i + 4 y}{5}$

Étape 4.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 + 2 i + i - y + y (- 2 i) - 2 y i + 4 y}{5}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $2 i$ et $i$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i - y + y (- 2 i) - 2 y i + 4 y}{5}$

Étape 4.3.4.3

Additionnez $- y$ et $4 y$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i + y (- 2 i) - 2 y i + 3 y}{5}$

Étape 4.3.5

Soustrayez $2 y i$ de $y (- 2 i)$ .

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Étape 4.3.5.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 2$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i - 2 \cdot y i - 2 y i + 3 y}{5}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $2 y i$ de $- 2 \cdot y i$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i - 4 y i + 3 y}{5}$

Étape 4.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 4 i y + 3 y - 1 + 3 i}{5}$

Étape 4.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 i y$ .

$x = \frac{- (4 i y) + 3 y - 1 + 3 i}{5}$

Étape 4.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y$ .

$x = \frac{- (4 i y) - (- 3 y) - 1 + 3 i}{5}$

Étape 4.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 i y) - (- 3 y)$ .

$x = \frac{- (4 i y - 3 y) - 1 + 3 i}{5}$

Étape 4.3.10

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- (4 i y - 3 y) - 1 (1) + 3 i}{5}$

Étape 4.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 i y - 3 y) - 1 (1)$ .

$x = \frac{- (4 i y - 3 y + 1) + 3 i}{5}$

Étape 4.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i$ .

$x = \frac{- (4 i y - 3 y + 1) - (- 3 i)}{5}$

Étape 4.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 i y - 3 y + 1) - (- 3 i)$ .

$x = \frac{- (4 i y - 3 y + 1 - 3 i)}{5}$

Étape 4.3.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.14.1

Réécrivez $- (4 i y - 3 y + 1 - 3 i)$ comme $- 1 (4 i y - 3 y + 1 - 3 i)$ .

$x = \frac{- 1 (4 i y - 3 y + 1 - 3 i)}{5}$

Étape 4.3.14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 i y - 3 y + 1 - 3 i}{5}$