Ensembles finis Exemples

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\ln (x)$ par $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\ln (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $\ln (x) - 2$ égal à $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\ln (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (x) = 2$

Étape 3.2.2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\ln (x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’équation comme $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Étape 4

Définissez $\ln (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\ln (x) + 1$ égal à $0$ .

$\ln (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\ln (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\ln (x) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Étape 4.2.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Forme décimale :

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$