Ensembles finis Exemples

4 x^{2} - y^{2} + 24 x - 4 y - 68 = 0

$4 x^{2} - y^{2} + 24 x - 4 y - 68 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs

a = - 1

$a = - 1$ ,

b = - 4

$b = - 4$ et

c = 4 x^{2} + 24 x - 68

$c = 4 x^{2} + 24 x - 68$ dans la formule quadratique et résolvez pour

y

$y$ .

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Factorisez

- 4

$- 4$ à partir de

{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez

- 4

$- 4$ à partir de

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez

- 4

$- 4$ à partir de

- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

$- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.1.3

Factorisez

- 4

$- 4$ à partir de

- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))

$- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.2

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

$- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ .

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Étape 3.1.2.1

Remettez dans l’ordre

- 4

$- 4$ et

- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

$- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 4)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.2

Réécrivez

- 4

$- 4$ comme

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.3

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 (4)

$- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 (4)$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez

- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)

$- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)$ comme

- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)

$- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.3

Additionnez

- 68

$- 68$ et

4

$4$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.4

Factorisez

4

$4$ à partir de

4 x^{2} + 24 x - 64

$4 x^{2} + 24 x - 64$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

4 x^{2}

$4 x^{2}$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.4.2

Factorisez

4

$4$ à partir de

24 x

$24 x$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 4 (6 x) - 64))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 4 (6 x) - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.4.3

Factorisez

4

$4$ à partir de

- 64

$- 64$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.4.4

Factorisez

4

$4$ à partir de

4 x^{2} + 4 (6 x)

$4 x^{2} + 4 (6 x)$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.4.5

Factorisez

4

$4$ à partir de

4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16

$4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.5

Factorisez.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (4 (x - 2) (x + 8)))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (4 (x - 2) (x + 8)))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.6

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.7

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 4

$- 4$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.8

Réécrivez

16 (x - 2) (x + 8)

$16 (x - 2) (x + 8)$ comme

{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))

${(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))$ .

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Étape 3.1.8.1

Réécrivez

16

$16$ comme

4^{2}

$4^{2}$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.8.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.10

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.2

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}$

Étape 3.3

Simplifiez

\frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}

$\frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}$ .

y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}$

Étape 3.4

Déplacez le moins un du dénominateur de

\frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}$ .

y = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})

$y = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$

Étape 3.5

Réécrivez

- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})

$- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$ comme

$- (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$ .

$y = - (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 2 - 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}$