Ensembles finis Exemples

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 24$ et $c = 4 y^{2} + 32 y + 128$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (4 y^{2} + 32 y + 128))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 2 \cdot (4 y^{2} + 32 y + 128)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 8 \cdot (4 y^{2} + 32 y + 128)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 8 (4 y^{2}) - 8 (32 y) - 8 \cdot 128}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 32 y^{2} - 8 (32 y) - 8 \cdot 128}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $32$ par $- 8$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 32 y^{2} - 256 y - 8 \cdot 128}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $- 8$ par $128$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 32 y^{2} - 256 y - 1024}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $1024$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 32 y^{2} - 256 y - 448}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6

Factorisez $32$ à partir de $- 32 y^{2} - 256 y - 448$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $32$ à partir de $- 32 y^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{32 (- y^{2}) - 256 y - 448}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $32$ à partir de $- 256 y$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{32 (- y^{2}) + 32 (- 8 y) - 448}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $32$ à partir de $- 448$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{32 (- y^{2}) + 32 (- 8 y) + 32 (- 14)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.4

Factorisez $32$ à partir de $32 (- y^{2}) + 32 (- 8 y)$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{32 (- y^{2} - 8 y) + 32 (- 14)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.5

Factorisez $32$ à partir de $32 (- y^{2} - 8 y) + 32 (- 14)$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{32 (- y^{2} - 8 y - 14)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $32 (- y^{2} - 8 y - 14)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- y^{2} - 8 y - 14))$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{16 (2) (- y^{2} - 8 y - 14)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- y^{2} - 8 y - 14))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- y^{2} - 8 y - 14))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- y^{2} - 8 y - 14))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{24 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- y^{2} - 8 y - 14)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{2 (- y^{2} - 8 y - 14)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{2 (- y^{2} - 8 y - 14)}}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 4 \sqrt{2 (- y^{2} - 8 y - 14)}}{4}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{2 (- y^{2} - 8 y - 14)}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 6 + \sqrt{2 (- y^{2} - 8 y - 14)}$

$x = 6 - \sqrt{2 (- y^{2} - 8 y - 14)}$