Ensembles finis Exemples

$2 x^{\frac{11}{5}} - 19 x^{\frac{6}{5}} + 24 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{5}}$ présent dans chaque terme.

$2 {(x^{\frac{1}{5}})}^{11} - 19 {(x^{\frac{1}{5}})}^{6} + 24 x^{\frac{1}{5}}$

Étape 2

Remplacez $x^{\frac{1}{5}}$ par $u$ .

$2 {(u)}^{11} - 19 {(u)}^{6} + 24 (u) = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Multipliez $24$ par $u$ .

$2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{11}$ .

$u (2 u^{10}) - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $u$ à partir de $- 19 u^{6}$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + 24 u = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $u$ à partir de $24 u$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5})$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $u^{10}$ comme ${(u^{5})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{5})}^{2} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Étape 3.2.3

Laissez $u = u^{5}$ . Remplacez toutes les occurrences de $u^{5}$ par $u$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 24 = 48$ et dont la somme est $b = - 19$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Factorisez $- 19$ à partir de $- 19 u$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Étape 3.2.4.1.2

Réécrivez $- 19$ comme $- 3$ plus $- 16$

$u (2 u^{2} + (- 3 - 16) u + 24) = 0$

Étape 3.2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$u (2 u^{2} - 3 u - 16 u + 24) = 0$

Étape 3.2.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$u ((2 u^{2} - 3 u) - 16 u + 24) = 0$

Étape 3.2.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (u (2 u - 3) - 8 (2 u - 3)) = 0$

Étape 3.2.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 3$ .

$u ((2 u - 3) (u - 8)) = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez.

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Étape 3.2.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $u^{5}$ .

$u ((2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8)) = 0$

Étape 3.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$2 u^{5} - 3 = 0$

$u^{5} - 8 = 0$

Étape 3.4

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 3.5

Définissez $2 u^{5} - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $2 u^{5} - 3$ égal à $0$ .

$2 u^{5} - 3 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $2 u^{5} - 3 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u^{5} = 3$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u^{5} = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u^{5} = 3$ par $2$ .

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $u^{5}$ par $1$ .

$u^{5} = \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Étape 3.5.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Étape 3.5.2.4.3.2

Élevez $\sqrt[5]{2}$ à la puissance $1$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Étape 3.5.2.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

Étape 3.5.2.4.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

Étape 3.5.2.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.2.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{2}$ comme $2^{\frac{1}{5}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 3.5.2.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 3.5.2.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.5.2.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.2.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.5.2.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

Étape 3.5.2.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

Étape 3.5.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{2^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

Étape 3.5.2.4.4.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{16}}{2}$

Étape 3.5.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$u = \frac{\sqrt[5]{3 \cdot 16}}{2}$

Étape 3.5.2.4.5.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$

Étape 3.6

Définissez $u^{5} - 8$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $u^{5} - 8$ égal à $0$ .

$u^{5} - 8 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $u^{5} - 8 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{5} = 8$

Étape 3.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{8}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$ vraie.

$u = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{5}} = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Étape 5

Résolvez $x^{\frac{1}{5}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{5}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Résolvez $x^{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ .

$x = \frac{{\sqrt[5]{48}}^{5}}{2^{5}}$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{48}}^{5}$ comme $48$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{48}$ comme $48^{\frac{1}{5}}$ .

$x = \frac{{(48^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{48^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Étape 6.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Étape 6.2.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{48^{1}}{2^{5}}$

Étape 6.2.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{48}{2^{5}}$

Étape 6.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$x = \frac{48}{32}$

Étape 6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun à $48$ et $32$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{16 (3)}{32}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.4.2.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 7

Résolvez $x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{8}$ pour $x$ .

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Étape 7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Étape 7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Étape 7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Étape 7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ comme $8$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{8}$ comme $8^{\frac{1}{5}}$ .

$x = {(8^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Étape 7.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 8^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Étape 7.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Étape 7.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Étape 7.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 8^{1}$

Étape 7.2.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$x = 8$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Forme décimale :

$x = 0, 1.5, 8$

Forme de nombre mixte :

$x = 0, 1 \frac{1}{2}, 8$