Ensembles finis Exemples

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{36} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{6^{2}} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Étape 1.2

Simplifiez $3^{2} (\frac{1}{6})$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 9 (\frac{1}{6})$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (3) \frac{1}{6}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = \frac{3}{2}$

Étape 1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 4 x = \frac{3}{2} - 6$

Étape 1.3.2

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 + 4 x$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} + 4 x$

Étape 1.3.4

Associez $- 6$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 12}{2} + 4 x$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $12$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{- 9}{2} + 4 x$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - \frac{9}{2} + 4 x$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ comme ${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $- 8$ et $4$ .

${(\frac{x - 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez

$\frac{x - 4}{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ comme $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ .

$\frac{x - 4}{2} = (- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2} + 4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $- \frac{9}{2} (- \frac{9}{2})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x - 4}{2} = 1 (\frac{9}{2}) \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{9}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9 \cdot 9}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 9 (2 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 x \cdot - 9 + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 x (4 x)$

Étape 3.3.1.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x \cdot x$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x)$

Étape 3.3.1.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 16 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $18 x$ de $- 18 x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x - 4 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $(\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 4 = \frac{81}{4} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x - 4 = \frac{81}{2 (2)} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x - 4 = \frac{81}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x - 4 = \frac{81}{2} - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 16 x^{2} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 32 x^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Déplacez $\frac{81}{2}$ .

$x - 4 = - 72 x + 32 x^{2} + \frac{81}{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Remettez dans l’ordre $- 72 x$ et $32 x^{2}$ .

$x - 4 = 32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2}$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} = x - 4$

Étape 4.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} - x = - 4$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $x$ de $- 72 x$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} = - 4$

Étape 4.3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 = 0$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez $32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.2

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 4 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.2.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 8}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.4.2

Additionnez $81$ et $8$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{89}{2} = 0$

Étape 4.3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (32 x^{2}) + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez

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Étape 4.3.4.2.1

Multipliez $32$ par $2$ .

$64 x^{2} + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2.2

Multipliez $- 73$ par $2$ .

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$64 x^{2} - 146 x + 89 = 0$

Étape 4.3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.6

Remplacez les valeurs $a = 64$ , $b = - 146$ et $c = 89$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{146 \pm \sqrt{{(- 146)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 89)}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.7.1.1

Élevez $- 146$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 4 \cdot 64 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 64 \cdot 89$ .

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Étape 4.3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 256 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.2.2

Multipliez $- 256$ par $89$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 22784}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.3

Soustrayez $22784$ de $21316$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1468}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.4

Réécrivez $- 1468$ comme $- 1 (1468)$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1468}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1468)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.7

Réécrivez $1468$ comme $2^{2} \cdot 367$ .

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Étape 4.3.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $1468$ .

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{4 (367)}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 367}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{146 \pm i \cdot (2 \sqrt{367})}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{2 \cdot 64}$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$

Étape 4.3.7.3

Simplifiez $\frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$ .

$x = \frac{73 \pm i \sqrt{367}}{64}$

Étape 4.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{73 + i \sqrt{367}}{64}, \frac{73 - i \sqrt{367}}{64}$