Ensembles finis Exemples

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1

Simplifiez $(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7)$ .

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Étape 1.1

Développez $(2 x - 5) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.2.2

Soustrayez $5 x$ de $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.3

Développez $(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $10$ par $4$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.2.1

Soustrayez $9 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- 36 x$ et $10 x$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Étape 1.5

Développez $(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.6.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $7$ par $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.6.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.8

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x \cdot x - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.10.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 (x \cdot x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.11

Multipliez $- 26$ par $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.12

Multipliez $7$ par $- 26$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.13

Multipliez $2$ par $40$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 40 \cdot 7 = 91$

Étape 1.6.1.14

Multipliez $40$ par $7$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Étape 1.6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.6.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $14 x^{3}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Étape 1.6.2.2

Soustrayez $52 x^{2}$ de $- 7 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Étape 1.6.2.3

Additionnez $- 182 x$ et $80 x$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 = 91$

Étape 2

Soustrayez $91$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 - 91 = 0$

Étape 3

Soustrayez $91$ de $280$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 189, \pm 3, \pm 63, \pm 7, \pm 27, \pm 9, \pm 21$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 189, \pm 47.25, \pm 94.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 27, \pm 6.75, \pm 13.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5$

Étape 4.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$4 \cdot 3^{4} + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$4 \cdot 81 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $81$ .

$324 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$324 + 12 \cdot 27 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $12$ par $27$ .

$324 + 324 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.6

Additionnez $324$ et $324$ .

$648 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$648 - 59 \cdot 9 - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.8

Multipliez $- 59$ par $9$ .

$648 - 531 - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.9

Soustrayez $531$ de $648$ .

$117 - 102 \cdot 3 + 189$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $- 102$ par $3$ .

$117 - 306 + 189$

Étape 4.1.3.11

Soustrayez $306$ de $117$ .

$- 189 + 189$

Étape 4.1.3.12

Additionnez $- 189$ et $189$ .

$0$

Étape 4.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189}{x - 3}$

Étape 4.1.5

Divisez $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ par $x - 3$ .

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Étape 4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Étape 4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Étape 4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Étape 4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{4} - 12 x^{3}$

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Étape 4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

Étape 4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Étape 4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $24 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Étape 4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Étape 4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $24 x^{3} - 72 x^{2}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Étape 4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

Étape 4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Étape 4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $13 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Étape 4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Étape 4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $13 x^{2} - 39 x$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Étape 4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

Étape 4.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Étape 4.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 63 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Étape 4.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Étape 4.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 63 x + 189$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Étape 4.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

$0$

Étape 4.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$

Étape 4.1.6

Écrivez $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.2.1

Factorisez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 4.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Étape 4.2.1.3

Remplacez $- 4.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 4.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.2.1.3.1

Remplacez $- 4.5$ dans le polynôme.

$4 {(- 4.5)}^{3} + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Étape 4.2.1.3.2

Élevez $- 4.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 91.125 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Étape 4.2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 91.125$ .

$- 364.5 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Étape 4.2.1.3.4

Élevez $- 4.5$ à la puissance $2$ .

$- 364.5 + 24 \cdot 20.25 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Étape 4.2.1.3.5

Multipliez $24$ par $20.25$ .

$- 364.5 + 486 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Étape 4.2.1.3.6

Additionnez $- 364.5$ et $486$ .

$121.5 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Étape 4.2.1.3.7

Multipliez $13$ par $- 4.5$ .

$121.5 - 58.5 - 63$

Étape 4.2.1.3.8

Soustrayez $58.5$ de $121.5$ .

$63 - 63$

Étape 4.2.1.3.9

Soustrayez $63$ de $63$ .

$0$

Étape 4.2.1.4

Comme $- 4.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 9$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63}{2 x + 9}$

Étape 4.2.1.5

Divisez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ par $2 x + 9$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

Étape 4.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$

Étape 4.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			+	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Étape 4.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} + 18 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Étape 4.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Étape 4.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Étape 4.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Étape 4.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Étape 4.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} + 27 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Étape 4.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$

Étape 4.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Étape 4.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 14 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Étape 4.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							-	$14 x$	-	$63$

Étape 4.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 14 x - 63$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$

Étape 4.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$
										$0$

Étape 4.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 3 x - 7$

Étape 4.2.1.6

Écrivez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) ((2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Définissez $2 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 x + 9$ égal à $0$ .

$2 x + 9 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 9$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 9$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{9}{2}$

Étape 8

Définissez $2 x^{2} + 3 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $2 x^{2} + 3 x - 7$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 3$ et $c = - 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Étape 8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Forme décimale :

$x = 3, - 4.5, 1.26556443 \dots, - 2.76556443 \dots$

Forme de nombre mixte :

$x = 3, - 4 \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$