Ensembles finis Exemples

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (8000 e^{0.06 t})$ comme $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ .

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Étape 2.2

Développez $\ln (e^{0.06 t})$ en déplaçant $0.06 t$ hors du logarithme.

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Étape 2.4

Multipliez $0.06$ par $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ comme $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Étape 3.2

Développez $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ en déplaçant $t$ hors du logarithme.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

Étape 3.3

Divisez $0.03$ par $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $0.03$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $8000$ et $47000$ .

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Étape 6.1

Factorisez $1000$ à partir de $8000$ .

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $1000$ à partir de $47000$ .

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Étape 7

Ajoutez $0.06 t$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

Étape 8

Soustrayez $\ln (\frac{8}{47})$ des deux côtés de l’équation.

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Étape 9

Factorisez $0.02 t$ à partir de $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ .

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Étape 9.1

Factorisez $0.02 t$ à partir de $- t \ln (1.03)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Étape 9.2

Factorisez $0.02 t$ à partir de $0.06 t$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Étape 9.3

Factorisez $0.02 t$ à partir de $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ par $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ par $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ .

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $0.02$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Étape 10.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun de $- 50 \ln (1.03) + 3$ .

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Étape 10.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Étape 10.3.2

Multipliez par $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Étape 10.3.3

Séparez les fractions.

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Étape 10.3.4

Divisez $1$ par $0.02$ .

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Étape 10.3.5

Associez $50$ et $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

Étape 10.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 50 \ln (1.03)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

Étape 10.3.7

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

Étape 10.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

Étape 10.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.9.1

Réécrivez $- (50 \ln (1.03) - 3)$ comme $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

Étape 10.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Étape 10.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Étape 10.3.9.4

Multipliez $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ par $1$ .

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Forme décimale :

$t = 58.16808110 \dots$