Ensembles finis Exemples

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

Étape 1

Soustrayez $24 \cdot 2^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Étape 2

Réécrivez $2^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Étape 3

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

Étape 4

Déplacez $128$ .

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Factorisez $u^{2} - 24 u + 128$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $128$ et dont la somme est $- 24$ .

$- 16, - 8$

Étape 5.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 16) (u - 8) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

Étape 5.3

Définissez $u - 16$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $u - 16$ égal à $0$ .

$u - 16 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 16$

Étape 5.4

Définissez $u - 8$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $u - 8$ égal à $0$ .

$u - 8 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 8$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 16) (u - 8) = 0$ vraie.

$u = 16, 8$

Étape 6

Remplacez $u$ par $16$ dans $u = 2^{x}$ .

$16 = 2^{x}$

Étape 7

Résolvez $16 = 2^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 16$ .

$2^{x} = 16$

Étape 7.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{4}$

Étape 7.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 4$

Étape 8

Remplacez $u$ par $8$ dans $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Étape 9

Résolvez $8 = 2^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Étape 9.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{3}$

Étape 9.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 4, 3$