Ensembles finis Exemples

$\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$

Étape 1

Réalisez le produit en croix.

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Étape 1.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$1 \cdot (\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}) = (x - 2) \cdot (3)$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Multipliez $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ par $1$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = (x - 2) \cdot (3)$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Simplifiez $(x - 2) \cdot (3)$ .

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = x \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Étape 1.3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 \cdot x - 2 \cdot 3$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 x - 6$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ comme ${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{1} = {(3 x - 6)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$4 x^{2} - 19 x + 30 = {(3 x - 6)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(3 x - 6)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(3 x - 6)}^{2}$ comme $(3 x - 6) (3 x - 6)$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = (3 x - 6) (3 x - 6)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(3 x - 6) (3 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x - 6) - 6 (3 x - 6)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x - 6)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x - 6 \cdot - 6$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x + 36$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $18 x$ de $- 18 x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 36 x + 36$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} = - 36 x + 36$

Étape 4.1.2

Ajoutez $36 x$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} + 36 x = 36$

Étape 4.1.3

Soustrayez $9 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 19 x + 30 + 36 x = 36$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 19 x$ et $36 x$ .

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 = 36$

Étape 4.2

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 - 36 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $36$ de $30$ .

$- 5 x^{2} + 17 x - 6 = 0$

Étape 4.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2} + 17 x - 6$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$- (5 x^{2}) + 17 x - 6 = 0$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $17 x$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 6 = 0$

Étape 4.4.1.3

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Étape 4.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2}) - (- 17 x)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Étape 4.4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2} - 17 x) - 1 (6)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 x$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Étape 4.4.2.1.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $- 2$ plus $- 15$

$- (5 x^{2} + (- 2 - 15) x + 6) = 0$

Étape 4.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (5 x^{2} - 2 x - 15 x + 6) = 0$

Étape 4.4.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((5 x^{2} - 2 x) - 15 x + 6) = 0$

Étape 4.4.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (5 x - 2) - 3 (5 x - 2)) = 0$

Étape 4.4.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 2$ .

$- ((5 x - 2) (x - 3)) = 0$

Étape 4.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (5 x - 2) (x - 3) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4.6

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $5 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 2$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Étape 4.7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (5 x - 2) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{5}, 3$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$ vrai.

$x = 3$