Ensembles finis Exemples

$x^{\frac{- 2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Étape 1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{- \frac{1}{3}} - 56 = 0$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$

Étape 2.2

Since $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ par $x^{\frac{2}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{3}}$ présent dans chaque terme.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Étape 4.2

Remplacez $x^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

$1 + u - 56 {(u)}^{2} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Supprimez les parenthèses.

$1 + u - 56 u^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $1 + u - 56 u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.1

Déplacez $1$ .

$u - 56 u^{2} + 1 = 0$

Étape 4.3.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 56 u^{2}$ .

$- 56 u^{2} + u + 1 = 0$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 56 u^{2}$ .

$- (56 u^{2}) + u + 1 = 0$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $u$ .

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Étape 4.3.2.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 4.3.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (56 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (56 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 4.3.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (56 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (56 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 4.3.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 56 \cdot - 1 = - 56$ et dont la somme est $b = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$- (56 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Étape 4.3.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $7$ plus $- 8$

$- (56 u^{2} + (7 - 8) u - 1) = 0$

Étape 4.3.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (56 u^{2} + 7 u - 8 u - 1) = 0$

Étape 4.3.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((56 u^{2} + 7 u) - 8 u - 1) = 0$

Étape 4.3.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (7 u (8 u + 1) - (8 u + 1)) = 0$

Étape 4.3.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $8 u + 1$ .

$- ((8 u + 1) (7 u - 1)) = 0$

Étape 4.3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$

Étape 4.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$8 u + 1 = 0$

$7 u - 1 = 0$

Étape 4.3.4

Définissez $8 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Définissez $8 u + 1$ égal à $0$ .

$8 u + 1 = 0$

Étape 4.3.4.2

Résolvez $8 u + 1 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 u = - 1$

Étape 4.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $8 u = - 1$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 u = - 1$ par $8$ .

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 4.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 4.3.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{8}$

Étape 4.3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{8}$

Étape 4.3.5

Définissez $7 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Définissez $7 u - 1$ égal à $0$ .

$7 u - 1 = 0$

Étape 4.3.5.2

Résolvez $7 u - 1 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$7 u = 1$

Étape 4.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $7 u = 1$ par $7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 u = 1$ par $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 4.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 4.3.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{7}$

Étape 4.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Étape 4.4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Étape 4.5

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Étape 4.5.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Étape 4.5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Étape 4.5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Étape 4.5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1

Simplifiez ${(- \frac{1}{8})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{8}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{8})}^{3}$

Étape 4.5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Étape 4.5.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = - \frac{1}{8^{3}}$

Étape 4.5.2.2.1.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$x = - \frac{1}{512}$

Étape 4.6

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{7}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Étape 4.6.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Étape 4.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Étape 4.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Étape 4.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Étape 4.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.2.1

Simplifiez ${(\frac{1}{7})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{7}$ .

$x = \frac{1^{3}}{7^{3}}$

Étape 4.6.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1}{7^{3}}$

Étape 4.6.2.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1}{343}$

Étape 4.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Forme décimale :

$x = - 0.00195312 \dots, 0.00291545 \dots$