Ensembles finis Exemples

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

Étape 1

Réécrivez $5^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

Étape 2

Remplacez $5^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + 3 u = 28$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $28$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $u^{2} + 3 u - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $3$ .

$- 4, 7$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

Étape 3.4

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 3.5

Définissez $u + 7$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u + 7$ égal à $0$ .

$u + 7 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 7$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (u + 7) = 0$ vraie.

$u = 4, - 7$

Étape 4

Remplacez $u$ par $4$ dans $u = 5^{x}$ .

$4 = 5^{x}$

Étape 5

Résolvez $4 = 5^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $5^{x} = 4$ .

$5^{x} = 4$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Étape 5.3

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (4)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (4)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $- 7$ dans $u = 5^{x}$ .

$- 7 = 5^{x}$

Étape 7

Résolvez $- 7 = 5^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $5^{x} = - 7$ .

$5^{x} = - 7$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

Étape 7.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 7)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.4

Il n’y a pas de solution pour $5^{x} = - 7$

Aucune solution

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 0.86135311 \dots$