Ensembles finis Exemples

$\frac{4 x \sqrt{x^{3} - 1} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Étape 1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x \sqrt{x^{3} - 1} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$4 x \sqrt{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Étape 2.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Étape 2.1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1^{3}}} = 0$

Étape 2.1.1.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}} = 0$

Étape 2.1.1.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}} = 0$

Étape 2.1.1.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Étape 2.1.1.5

Multipliez $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ par $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}) = 0$

Étape 2.1.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.6.1

Multipliez $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ par $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Étape 2.1.1.6.2

Élevez $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ à la puissance $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Étape 2.1.1.6.3

Élevez $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ à la puissance $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1} {\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1}} = 0$

Étape 2.1.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1 + 1}} = 0$

Étape 2.1.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}} = 0$

Étape 2.1.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ comme $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ comme ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{({((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Étape 2.1.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Étape 2.1.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Étape 2.1.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Étape 2.1.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{1}} = 0$

Étape 2.1.1.6.6.5

Simplifiez

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.2

Pour écrire $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.3

Associez $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ et $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Factorisez $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ à partir de $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1

Factorisez $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ à partir de $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Factorisez $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ à partir de $- 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.1.3

Factorisez $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ à partir de $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.2

Développez $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.3

Associez les termes opposés dans $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.3.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.3.3

Additionnez $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.4.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.5

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.5.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + 0 - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.5.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} + 4 \cdot - 1 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} - 4 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.1.5.8

Soustrayez $3 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ comme ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Développez $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x {(x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x {(x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x {(x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.3.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.4

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{3} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.3.4.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Étape 2.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1), 1$

Étape 2.4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Étape 2.5

Multiplier chaque terme dans $\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$ par $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$ par $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.3

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{3} x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} x^{1} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot (x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.2.5

Supprimez les parenthèses.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Développez $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.1.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.1.3

Additionnez $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ et $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.2.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.2.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.3.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)$

Étape 2.5.3.2.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.2.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.2.3.1.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + 0 - 1)$

Étape 2.5.3.2.3.1.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} - 1)$

Étape 2.5.3.2.3.2

Multipliez $0$ par $x^{3} - 1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2.6

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Factorisez $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Factorisez $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4) = 0$

Étape 2.6.1.3

Factorisez $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4)$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$

Étape 2.6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Étape 2.6.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.6.4

Définissez ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1

Définissez ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ .

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2.6.4.2

Résolvez ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.1

Définissez le $x^{3} - 1$ égal à $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 2.6.4.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 1$

Étape 2.6.4.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 2.6.4.2.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 2.6.4.2.2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.6.4.2.2.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.3.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Étape 2.6.4.2.2.3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 2.6.4.2.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.6.4.2.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.6.4.2.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6.4.2.2.6

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.6.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.6.4.2.2.6.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.4.2.2.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.4.2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.5

Définissez $x^{3} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.5.1

Définissez $x^{3} - 4$ égal à $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Étape 2.6.5.2

Résolvez $x^{3} - 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 4$

Étape 2.6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Étape 2.6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[3]{4}$